Đố vui 37 - Thoát khỏi đám đông

Friday, January 2, 2015 0 nhận xét

Nếu bạn ở giữa đám đông tại trung tâm Thượng Hải vào hồi 23h35 ngày 31/12/2014, bạn sẽ làm gì để thoát ra khỏi đó.

Thôi chủ nhiệm

Sunday, December 28, 2014 0 nhận xét


Mai sẽ còn lặng lẽ một mình thôi
Không thừa giờ nhưng lại thừa hụt hẫng
Biển là gì khi không còn có sóng?
Gió có vui khi cây lá chẳng còn?


Mặt Trời, Mặt Trăng và Lượng giác

Monday, December 22, 2014 0 nhận xét

Mặt Trời cách Mặt Trăng bao xa? Mặt Trời lớn hơn Mặt Trăng bao nhiêu lần? Và làm thế nào để trả lời các câu hỏi đó nếu bạn là một người Hy Lạp cổ đại, kẻ thậm chí không có lấy 1 chiếc kính thiên văn?
Nếu bạn là Aristarchus (Aristarchus of Samos), người đã sống vào khoảng 2300 năm trước, khi đó, bạn sẽ dựa vào chuyên môn hình học tuyệt vời của mình, kết hợp với một nhận thức quan trọng, đó là Mặt Trăng tỏa sáng vào ban đêm vì nó được chiếu sáng bởi Mặt Trời. Không giống như nhiều người, Aristarchus nhận ra rằng Trái Đất chuyển động xung quanh Mặt Trời.

Được trang bị kiến thức Mặt Trời chiếu sáng Mặt Trăng, Aristarchus nhận ra rằng ở một nửa Mặt Trăng, tam giác hình thành bởi Trái Đất ($E$), Mặt Trăng ($M$) và Mặt Trời ($S$) có một góc vuông tại $M$.
Bạn có thể thuyết phục mình về điều này bằng cách tưởng tượng Mặt Trời ở những nơi khác nhau trong sơ đồ trên và kiểm tra rằng các tia sáng song song phát ra từ nó chiếu sáng đúng một nửa của Mặt Trăng (nhìn từ Trái Đất) chỉ khi có một góc vuông tại $M$.

Aristarchus đã đo khoảng cách tương đối của Mặt Trời và Mặt Trăng bằng cách đo tỉ lệ $\frac{ES}{EM}$, trong đó $ES$ là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời và $EM$ là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng. Bằng lượng giác, bạn biết rằng
$$\frac{EM}{ES} = \cos \alpha$$
trong đó $\alpha $ là giá trị góc $E$ của tam giác. Vì thế
$$\frac{ES}{EM} = \frac{1}{\cos\alpha}$$
Ngày nay, ta có thể ước tính $\alpha = 89.85^\circ $ ta được:
$$\frac{ES}{EM} = \frac{1}{\cos 89.85^\circ} \approx 382. $$
Vì vậy, Mặt Trời xa Trái Đất hơn gần $400$ lần so với Mặt Trăng. Aristarchus cũng nhận thấy rằng trong một nhật thực toàn phần, Mặt Trăng che kín hoàn toàn Mặt Trời. Điều này cho chúng ta sơ đồ sau:
 
Sử dụng thực tế đó và tỷ lệ giữa $ ES_1 $ và $ EM_1 $ bằng tỷ lệ giữa $ S_1S_2 $ và $ M_1M_2 $ (vì chúng chúng nằm trong cặp tam giác đồng dạng) chúng ta có thể suy luận rằng đường kính của Mặt Trời là lớn hơn khoảng $400$ lần hơn đường kính của Mặt Trăng.

Kết quả Aristarchus đã đưa ra khác xa với kết quả trên. Ông ước tính Mặt Trời lớn hơn khoảng từ 18 đến 20 Mặt Trăng. Điều này một phần là vì ông không có phương tiện để đo góc $ \alpha $ đủ chính xác và ước tính nó bằng $ 87^\circ. $ Sử dụng giá trị này trong tính toán trên, ông cho rằng Mặt Trời lớn hơn khoảng $19$ Mặt Trăng: một sự thay đổi nhỏ trong một góc $\alpha $ gần $ 90 ^\circ $ dẫn đến một sự thay đổi lớn trong $\frac{1}{\cos {\alpha}} $.

Lý do tại sao Aristarchus chỉ có thể đưa ra phạm vi $18-20$, chứ không phải một số chính xác, đó là lượng giác thời đó chưa phát triển. Ông không có khái niệm về côsin, hiển nhiên không có bảng giá trị lượng giác. Thay vào đó, ông đã phải sử dụng một lập luận hình học phức tạp hơn để đến với câu trả lời gần đúng của mình. Đây là một dẫn chứng cho khẳng định lượng giác rất hữu ích cho các nhà thiên văn học.


 Theo Plus.math.org











Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Lạng Sơn năm học 2014 - 2015

Sunday, December 7, 2014 0 nhận xét

Câu 1  (4 điểm). Cho hàm số $\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị là $\left( C \right)$
a) Tìm $m$ để đường thẳng $y=-x+m$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $AB=2$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ biết khoảng cách từ $I(1;1)$ đến tiếp tuyến đó là lớn nhất.

Câu 2 (3 điểm). Giải phương trình:
$$6\sin 2x - \cos 2x + 6\sin x + 13\cos x+ 6=0$$

Câu 3 (4 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
$$y=2(1+\sin2x\cos4x) - \frac{1}{2}(\cos4x-\cos8x)$$

Câu 4 (6 điểm).  Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^o$, hình chiếu của $S$  lên $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của $BO$, góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^o$.
a) Tính thể tích hình chóp $S.ABCD.$
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$
c) Tính khoảng cách từ $B$ đến $(SCD)$.

Câu 5 (3 điểm). Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-y^3+6x^2+6y^2-32=0\\ x^2+y^2+4x-4y+6=0\end{matrix}\right.$$
$$\text{---Hết---}$$
 Mời bạn thảo luận và tham gia giải tại  đây




Cuộc thi tìm hiểu

Tuesday, December 2, 2014 0 nhận xét

CÂU HỎI CUỘC THI
TÌM HIỂU VỀ LỊCH SỬ VẺ VANG CÁC CUỘC THI TÌM HIỂU

Câu 1: Anh, chị hãy cho biết cuộc thi tìm hiểu đầu tiên được tổ chức ngày tháng năm nào, do cơ quan, đơn vị nào tổ chức? Từ đó đến nay đã có bao nhiêu cuộc thi tìm hiểu?
Câu 2: Anh chị hãy cho biết ý nghĩa và tầm quan trọng của các cuộc thi tìm hiểu. Tại sao lại phải thi tìm hiểu?
Câu 3: Anh, chị hãy viết một kỷ niệm sâu sắc của bản thân, của gia đình, quê hương mình về một cuộc thi tìm hiểu.

 
Copyright © 2012 Chú lùn thứ tám. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Chú lùn thứ tám khi phát hành lại thông tin trên trang này.