Lượng giác trên quả địa cầu

Sunday, January 24, 2016 0 nhận xét

Bài toán 1
Xem Trái Đất như một khối cầu tâm $O$.
Điểm $S$ có tọa độ $11^o$ vĩ Bắc, $106^o30'$ kinh Đông.
Điểm $P$ có tọa độ $49^o$ vĩ Bắc, $2^o30'$ kinh Đông.
Tính số đo góc $\widehat{POS}$ ?

Giải
Phương trình tham số của mặt cầu Trái Đất là:
$$\begin{cases}x=R\cos \varphi \cos \lambda \\ y = R\cos \varphi \sin \lambda \\ z = R \sin \varphi \end{cases}$$
Trong đó $\varphi $ là vĩ độ (mang dấu dương khi điểm đang xét ở Bán cầu Bắc, mang dấu âm khi ở Bán cầu Nam), $\lambda$ là kinh độ (mang dấu dương khi ở Bán cầu Đông, dấu âm khi ở Bán cầu Tây)
Ta có tọa độ của $S,P$ là
$$S(R\cos \varphi_S \cos \lambda_S ; R\cos \varphi_S \sin \lambda_S ; R \sin \varphi_S), \quad P(R\cos \varphi_P \cos \lambda_P ; R\cos \varphi_P \sin \lambda_P ; R \sin \varphi_P)$$

$$\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OS}=R^2 \left [ \cos \varphi_P \cos \varphi_S \cos (\lambda_P - \lambda_S) +\sin \varphi_P\sin \varphi_S \right ]$$

\begin{equation} \label{eq:1} \boxed{\cos \left ( \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OS} \right ) = \frac{\overrightarrow{OP}. \overrightarrow{OS}}{OP.OS} = \cos \varphi_P \cos \varphi_S \cos (\lambda_P - \lambda_S) +\sin \varphi_P\sin \varphi_S} \end{equation}

Theo bài, $\varphi_S = 11^o, \lambda_S = 106,5^o, \varphi_P=49^o, \lambda_P=2,5^o$, ta có:
$$\cos \left ( \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OS} \right ) = \cos 49^o \cos 11^o \cos 104^o + \sin 11^o \sin 49^o \approx -0,01179$$
Vậy $\widehat{POS} \approx 90^o40’32’’$

Bài toán 2
Tính diện tích phần bề mặt Trái Đất giới hạn bởi các vĩ tuyến $11^o$ Bắc, $49^o$ Bắc và các kinh tuyến $2^o30'$ Đông, $106^o30'$ Đông ?

Giải
Trước hết ta tìm công thức tính diện tích phần mặt cầu giới hạn bởi hai đường vĩ tuyến. (Người ta gọi là hình đớt cầu)

Dễ thấy hình đớt cầu là mặt tròn xoay có được nhờ quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục $Ox$:
$$y=\sqrt{R^2-x^2} \quad \text{(nửa đường tròn tâm O phía trên trục hoành)}, \quad x = a, x = b, \quad (0<a<b \leq R)$$
Áp dụng công thức:
$$S = 2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{1+(y')^2}dx$$
Ta có:
\begin{equation} \label{eq:2} S_{(R,a,b)}=2\pi\int_{a}^{b}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}}dx = 2\pi\int_{a}^{b}Rdx = 2\pi R (b-a) \end{equation}

Quay lại với Trái đất, Diện tích hình đớt cầu giới hạn bởi hai đường vĩ tuyến $\varphi_1$ và $\varphi_2, (\varphi_1 < \varphi_2)$. Ta lấy $a=R\sin \varphi_1, b = R\sin \varphi_2$. Ta được
$$S_{(R,\sin \varphi_1,\sin \varphi_2)}=2\pi R^2 (\sin \varphi_2- \sin \varphi_1)$$

Gọi $S_{(\varphi_1; \varphi_2; \lambda_1; \lambda_2)}$ là diện tích cần tìm. Dễ thấy đó là diện tích phần phần đớt cầu giới hạn bởi hai kinh tuyến $\lambda_1$ và $\lambda_2$. Ta có:
\begin{equation} \label{eq:3} \boxed{ S_{(\varphi_1; \varphi_2; \lambda_1; \lambda_2)}=\frac{|\lambda_2-\lambda_1|}{360} \times 2\pi R^2 (\sin \varphi_2- \sin \varphi_1) } \end{equation}

Lấy $R=6370 km, \varphi_1 = 11^o, \varphi_2=49^o, \lambda_1 = 2^o30', \lambda_2 = 106^o30'$, ta có $S\approx 41 \ 532 \ 886,63 km^2$


Bài toán 3
Điểm $A$ có tọa độ $\varphi _A=11^o$ ; $\lambda _A=2^o30'$ ($11^o$ vĩ Bắc, $2^o30'$ kinh Đông)
Điểm $B$ có tọa độ $\varphi _B=49^o$ ; $\lambda _B=106^o30'$ ($49^o$ vĩ Bắc, $106^o30'$ kinh Đông)
Giả sử trên bề mặt Trái Đất, người ta nối 2 thành phố $A$ và $B$ bằng 1 đường ngắn nhất (gọi là đường $(L)$)
Tính diện tích bề mặt Trái Đất giới hạn bởi đường $(L)$, các đường kinh tuyến đi qua $A$ và $B$ và đường xích đạo ?
Giải

1) Diện tích cần tìm là
$$S_{ABCD}=S_{CPD} - S_{PAB}$$
Trong đó $P$ là điểm cực Bắc. $C,D$ lần lượt là giao điểm của kinh tuyến $\lambda_B, \lambda_A$ với đường xích đạo.

2) Để tính $S_{PAB}$. Ta cần đi tìm công thức tính diện tích tam giác trên mặt cầu.
Định nghĩa:
Tam giác cầu $ABC$ là Tam giác nằm trên trên mặt cầu, các đường cong đi qua AB, BC, CA là các đường tròn lớn của mặt cầu.

Kí hiệu $A$ là góc giữa hai mặt phẳng $(AOB)$ và $(AOC)$.
$A$ đo bằng radian.

Khi đó gọi $S_A$ là diện tích phần mặt cầu giới hạn bởi hai mặt phẳng $(OAB)$ và  $(OAC)$ (phần tô vàng)

Gọi $S$ là diện tích mặt cầu tâm $O$ bán kính $R$,
$S=4\pi R^2$.
Ta có:
$$S_A = 2 \times \frac{S}{2 \pi}\times A = 4A\times R^2$$

3) Ta chứng minh định lý Girard:
Nếu $ABC$ là một tam giác cầu thì Diện tích tam giác $ABC$ được tính bằng công thức:
\begin{equation} \label{eq:4} \boxed{S_{ABC} = R^2(A+B+C-\pi)} \end{equation}

Thật vậy, Tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ (là hai tam giác bằng nhau) giúp ta chia mặt cầu thành các phần dưới đây:

Gọi $S_{2}, S_3, S_4$ lần lượt là diện tích các phần $(2), (3), (4)$.
Dễ thấy: các phần $(2), (3), (4)$ phủ kín mặt cầu và tam giác $ABC$ được đếm lặp $6$ lần. Tức là thừa $4$ lần. Do đó:
$$\begin{align*} & S = S_2+S_3+S_4-4S_{ABC} \\ \iff & 4\pi R^2 = 4A.R^2+4B.R^2+4C.R^2 – 4S_{ABC} \\ \iff & S_{ABC} = (A+B+C-\pi)R^2 \quad \text{(đpcm)}\end{align*}$$

4) Bây giờ cần tìm các góc $A, B, P$ của tam giác $PAB$.

Dễ thấy $P = |\lambda_A - \lambda_B| = 104^o = \frac{26\pi}{45}$

5) Để tính được các góc $A,B$, ta cần đi chứng minh Định lý cosin thứ nhất.
Định lý cosin thứ nhất.
Cho tam giác cầu $ABC$ nằm trên mặt cầu đơn vị (bán kính bằng 1). Đặt $a=\widehat{BOC}, b= \widehat{AOC}, c= \widehat{AOB}$. Khi đó:
\begin{equation} \label{eq:5} \boxed{\cos A = \dfrac{\cos a - \cos b \cos c}{\sin b \sin c}} \end{equation}

Chứng minh:
Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho $A \in Oz, B \in (xOz)$.
Khi đó:

$$A(0;0;1),  \quad B(\sin c; 0; \cos c), \quad C(\sin b \cos A; \sin b \sin A; \cos b)$$
Khi đó
$$\cos a = \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC} = \sin c \sin b \cos A + \cos c \cos b$$
Do đó ta có đpcm.

6) Đối với tam giác $PAB$, ta có $b =90^o - \varphi_A =79^o, a= 90^o-\varphi_B = 41^o$.
Áp dụng công thức $\eqref{eq:1}$, ta thu được
$$p = \widehat{AOB} \approx 90^o40’32’’$$

Áp dụng định lý cosin thứ nhất cho tam giác $PAB$ ta có:
$$\cos A = \dfrac{\cos a - \cos b \cos p}{\sin b \sin p} \approx 0,771180674$$
Suy ra $A \approx 0,690 102 644 3 \quad (rad)$
$$\cos B = \dfrac{\cos b - \cos a \cos p}{\sin a \sin p} \approx 0,3044256591$$
Suy ra $B \approx 1,261 460 915 \quad (rad)$


Áp dụng định lý định lý Girard ta có:
$$S_{PAB} = (P+A+B- \pi)R^2$$


Do đó
$$S_{ABCD}=S_{CPD} - S_{PAB} = P.R^2 - (P+A+B- \pi)R^2 = (\pi – A – B )R^2  \approx 48 \ 287 \ 691,56 \ km^2$$

(Quái lạ, sao nó có vẻ không đúng lắm so với Google Earth)

Lấy $R=6371$ thì sẽ được $S \approx 48 \ 302 \ 853. 72 \ km^2$
(kết quả này gần với thực tế hơn.

Đôi dòng tản mạn về Hà Nội

Wednesday, January 13, 2016 0 nhận xét

Xã hội thật là bất công!

Người ta thì chỉ quan tâm đến việc lo áo ấm cho mấy đứa bé vùng cao mà đâu biết rằng ngay ở giữa lòng Hà Nội tráng lệ vẫn còn những cô gái có hoàn cảnh nghèo khó, quần áo không đủ mặc, hàng đêm đứng co ro bên lề đường Phạm Văn Đồng, Trần Duy Hưng, Liễu Giai, Bưởi, Phố Vọng, ... dưới cái rét căm căm cầu xin sự giúp đỡ. Ánh mắt họ như van lơn trong vô vọng. Vậy mà mọi người đi qua chỉ nhìn họ một cách phớt lờ, thậm chí tránh họ như tránh tà. 

Những tưởng chúng ta đang sống ở giữa một xã hội vô cảm. Nhưng không, vẫn còn đâu đó những người tốt. Những chàng trai to khỏe mười tám đôi mươi và cả những bác trung niên đứng tuổi sẵn sàng dừng xe lại quan tâm, hỏi han ân cần và đưa những cô gái nghèo khó đi thuê phòng cho nghỉ qua đêm, san sẻ hơi ấm cho họ trong những ngày đông giá rét, tình người thật ấm áp biết bao.

Đôi dòng tản mạn về Hà Nội trong đợt gió mùa đông bắc.

(Sưu tầm từ Internet)

Dựng đường tròn tiếp xúc với cả đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác

Saturday, January 9, 2016 0 nhận xét

Bài toán:
Cho $(O),(I)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $D$ là tiếp điểm của $(I)$ với $BC$. Hãy dựng đường tròn $(\omega )$ tiếp xúc với cả $(O)$ và $(I)$ lần lượt tại $E$ và $D$.
Giải
Giả sử đã dựng được đường tròn $(\omega )$ tâm $H$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi $K$ là tiếp điểm của $(O)$ và $(\omega )$.
Gọi $S=IO \cap KD$.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $IOH$ có $D,S,K$ thẳng hàng. Ta có:
$$\frac{SI}{SO}.\frac{OK}{HK}.\frac{HD}{DI}=1$$
Nhưng $OK=R, DI=r, HD=HK$ nên ta suy ra:
$$\frac{SI}{SO}=\frac{r}{R}$$

Từ đó ta suy ra cách dựng như sau:
- Dựng điểm $S = V_{\left(I, \frac{r}{R+r} \right)}(O)$
- Dựng $K=SD \cap (O)$
- Dựng $H=OK \cap ID$.
- Dựng đường tròn $(\omega )$ tâm $H$, bán kính $HK$

Thiếu

Wednesday, January 6, 2016 0 nhận xét

Lướt một vòng danh bạ
Không ai để nhắn tin
Số nào cũng có cả
Chỉ thiếu một cái tên

Ánh mắt

Wednesday, December 23, 2015 0 nhận xét

Ánh mắt long lanh ấy nhìn anh với vẻ van nài. Chưa bao giờ anh thấy ánh mắt nào đẹp và tình cảm với anh như thế. Có cái gì nghèn nghẹn đăng đắng cứ trực trào lên ở mắt anh. Cánh tay anh trực muốn ôm trầm lấy người con gái yếu ớt ấy.

Cuộc sống thật bất công và chẳng thi vị chút nào. Cứ những lúc xúc động nhất là lại có kẻ phá ngang. Giọng anh soát vé xe bus oang oang:
- Thằng kia, không đứng dậy nhường ghế cho phụ nữ có thai đi còn nhìn cái gì thế hả

Fanpage

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.