Sợ ...

Monday, April 17, 2017 0 nhận xét

Tặng Blue
Hôm qua định ngỏ cùng em

Tiếc vầng trăng khuyết chưa thêm đầy vòng.
Hôm nay muốn tỏ tấm lòng
Sợ cơn mưa vội đường vòng thêm xa
Bao giờ cho hết tháng ba
Mưa là mưa ấy, trăng là trăng thôi
Để lời ấy được thành lời
Mặc bao tiếc sợ cho người gần nhau

Đề thi HGS lớp 11 tỉnh Lạng Sơn năm học 2016 - 2017

Sunday, April 9, 2017 0 nhận xét

$\textbf{Câu 1 (6 điểm)}$
a) Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^3+xy^2=y^6+y^4 \\ \sqrt{4x+5} + \sqrt{y^2+8} = 6\end{cases}$
b) Giải phương trình: $\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 x} - \tan x - 2 \sqrt{3} = \sin x \left( 1 + \tan x. \tan \frac{x}{2} \right)$.

$\textbf{Câu 2 (4 điểm)}$. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n^2 - u_n + 2, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$. Đặt:
$$S_n = \frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+...+\frac{1}{u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*.$$
Tính $\lim S_n$.

$\textbf{Câu 3 (3 điểm)}$. Tìm hệ số của $x^7$ trong khai triển nhị thức Newton của $\left(x^2-\frac{2}{x}\right)^n, x \neq 0$. Biết rằng $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $4C_{n+1}^3+2C_{n}^2=A_n^3$.

$\textbf{Câu 4 (5 điểm)}$. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $A$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $DD'$ và $A'B'$.
a) Chứng minh rằng: $AN \perp CM$.
b) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $CM$ và $A'D$.

$\textbf{Câu 5 (2 điểm)}$. Trong hộp chứa các thẻ được ghi dãy số gồm 6 chữ số khác nhau. Tính xác suất để bốc được một thẻ có ghi các chữ số 1, 2, 3, 4, nhưng chữ số 1, 2 không đứng cạnh nhau và chữ số 3, 4 không đứng cạnh nhau.
$$\text{ ------HẾT------}$$

download: pdf

Cái nào khó hơn?

Tuesday, March 7, 2017 0 nhận xét

- Con trai! Vì con hay làm điều tốt nên ta sẽ tặng con 1 điều ước.
- Thưa Bụt, con vừa lùn, vừa già, vừa xấu, con muốn trúng xổ số jackpot.
- Hơ... Liên quan nhỉ. Nhưng không được. Xác suất trúng jackpot là 1/8145060. Mà con thì chả bao giờ mua vé. Hãy chọn điều khác đi.
- Vậy con xin một người con gái yêu mình...
- Thôi được rồi, con muốn trúng bảo nhiêu tỉ.

Không gian vectơ các số đại số

Thursday, February 23, 2017 0 nhận xét

Bài toán:
Chứng minh rằng tập hợp $\mathbb{A}$ các số đại số lập thành một không gian vectơ trên trường $\mathbb{Q}$.
Giải:
Ta chỉ cần chứng minh rằng tập hợp $\mathbb{A}$ là một không gian con của không gian vectơ $\mathbb{C}$ trên trường $\mathbb{Q}$. Muốn vậy, ta chứng minh rằng $\mathbb{A}$ đóng kín với phép cộng và phép nhân vô hướng.

Giả sử $\alpha, \beta$ là các số đại số bất kì. Khi đó, tồn tại hai đa thức $f(x), g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ lần lượt nhận $\alpha,\beta$. Giả sử $\deg f(x) = m \geq 1, \deg g(x) = n \geq 1 $.

Xét:
$$\mathbb{B} = \left \{ \sum q_{ij}\alpha ^i \beta ^j, \quad q_{ij} \in \mathbb{Q} \right \} \subset \mathbb{C} $$

Bổ đề:
Mọi phần tử $\alpha ^k$ với $k\geq m$ đều là tổ hợp tuyến tính của:
$$1, \alpha, ..., \alpha^{m-1}$$ 

Chứng minh bổ đề bằng quy nạp.
Thật vậy, với $k=m$, nếu:
$$f(x) = a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + ... + a_0, \quad a_m \neq 0$$
Thì
$$\alpha ^m = -\frac{a_{m-1}}{a_m}.\alpha ^{m-1} - ... -\frac{a_0}{a_m}.1$$
Giả sử:
$$\alpha^k = b_{m-1}.\alpha^{m-1}+...+b_0.1$$
Khi đó:
$$\begin{align*}\alpha^{k+1} &= \alpha.\left(b_{m-1} \alpha^{m-1}+...+b_0.1 \right) \\
&= b_{m-1}\alpha^m + \left( b_{m-2}\alpha^{m-1}+...+b_0.\alpha \right)\\
&= b_{m-1} \left(-\frac{a_{m-1}}{a_m}.\alpha ^{m-1} - ... -\frac{a_0}{a_m}.1\right)+ \left( b_{m-2}\alpha^{m-1}+...+b_0.\alpha \right) \\ &=c_{m-1}\alpha^{m-1}+...+c_0.1\end{align*}$$

Bổ đề được chứng minh xong.

Tương tự, mọi phần tử $\beta ^p$ với $p\geq n$ đều là tổ hợp tuyến tính của:
$$1, \beta, ..., \beta^{n-1}$$ 

Do đó, mọi phần tử của $\mathbb{B}$ đều là tổ hợp tuyến tính của $m.n$ phần tử của các phần tử dạng 
$$\alpha ^i \beta ^j;\quad  i=0,1,...,m; \quad j=0,1,...,n$$
Suy ra: $\dim \mathbb{B} \leq mn$
Các phần tử:
$$1=(\alpha + \beta)^0, (\alpha + \beta), ..., (\alpha + \beta)^{m.n}$$phải phụ thuộc tuyến tính. Tức là tồn tại các số $d_i, i=0,1,...,mn$ sao cho:
$$d_0.1 + d_1.(\alpha+\beta) +...+ d_{mn}(\alpha + \beta)^{m.n} = 0$$Vậy tồn tại đa thức: 
$$h(x) = d_0 + ... +d_{mn}x^{mn}\in \mathbb{Q}[x]$$
nhận $\alpha+\beta$ làm nghiệm.
Do đó $\alpha+\beta \in \mathbb{A}$, hay $\mathbb{A}$ đóng kín với phép cộng.

Tương tự: 
$$r\alpha \in \mathbb{A}, \forall \alpha \in \mathbb{A}, \forall r \in \mathbb{Q}$$
Vậy $\mathbb{A}$ là một không gian vectơ con của $\mathbb{C}$ trên trường $\mathbb{Q}$.

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.