Tìm min $P=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

Thursday, July 30, 2015 0 nhận xét

Bài toán
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn 
$$21ab+2bc+8ca\leq 12$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
$$P=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$$

Lời giải (Ngoc Hung)
Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$. Khi đó điều kiện bài toán là
$$\begin{cases}x,y,z> 0 \\ 2x+8y+21z\leq 12xyz \end{cases}$$
Ta đi tìm GTNN của $P=x+2y+3z$. 
Ta có:
$$2x+8y+21z  \leq 12xyz  \Rightarrow 3z\geq \frac{2x+8y}{4xy-7}$$
Do đó
\begin{align*} P & \geq x+2y+\frac{2x+8y}{4xy-7} \\ & =x+\frac{11}{2x}+\frac{1}{2x}\left [ (4xy-7)+\frac{4x^{2}+28}{4xy-7} \right ] \\ & \geq x+\frac{11}{2x}+\frac{1}{x}\sqrt{4x^{2}+28} \\ & =x+\frac{11}{2x}+\frac{3}{2}\sqrt{\left ( 1+\frac{7}{9} \right )\left ( 1+\frac{7}{x^{2}} \right )} \\ & \geq x+\frac{11}{2x}+\frac{3}{2}\left ( 1+\frac{7}{3x} \right ) \\ & =x+\frac{9}{x}+\frac{3}{2}\geq 6+\frac{3}{2} \\ &=\frac{15}{2} \end{align*}
Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi:
$$\begin{cases} (4xy-7)^2 = 4x^2+28 \\ 1 = \frac{x^2}{9} \\ 3z = \frac{2x+8y}{4xy-7} \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} x=3\\ y=\frac{5}{4} \\ z = \frac{2}{3} \end{cases}   \Leftrightarrow  \begin{cases} a=\frac{1}{3}\\ y=\frac{4}{5} \\ z = \frac{3}{2} \end{cases} $$

Ngày xưa ...

Friday, July 24, 2015 0 nhận xét



Bao giờ cho đến ngày xưa 
Pác Khuông khi ấy còn mưa đầy trời
Em còn đan áo đợi người 
Anh còn lạc bước tình đời long đong 
"Bao giờ đan áo này xong 
Người còn chưa tới, gửi lòng cho anh "
Thế rồi trời vội trong xanh 
Để người mặc áo còn anh vẫn ch

Phổ điểm kỳ thi THPT Quốc Gia 2015

Thursday, July 23, 2015 0 nhận xét





















Câu hỏi:
Hãy nêu nhận xét (trên mặt toán học) về phổ điểm của môn toán so với các môn còn lại




Phân dạng đề thi Đại học (2002 - 2015)

Monday, July 20, 2015 0 nhận xét



Tài liệu nhỏ này giới thiệu Đề thi ĐH môn toán từ năm 2002 (năm đầu tiên toàn quốc thi đề chung) đến năm 2015. Các đề thi được phân dạng và sắp xếp theo các chủ đề lớn:

  1. Khảo sát hàm số
  2. Lượng giác
  3. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
  4. Tích phân và ứng dụng
  5. Hình học tổng hợp trong không gian
  6. Bất đẳng thức
  7. Phương pháp tọa độ trong không gian
  8. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
  9. Số phức
  10. Tổ hợp - xác suất


Ở mỗi chủ đề, đề bài được sắp xếp theo năm thi và có đáp án hoặc hướng dẫn đi kèm giúp bạn đọc dễ theo dõi và kiểm tra kết quả của mình. Bạn đọc nên tự làm các đề thi sau đó so sánh với đáp án. Để làm được các đề thi này, đòi hỏi bạn đọc cần có một quá trình ôn tập kiên trì và có hiệu quả.

Trong quá trình tổng hợp vội vàng, hẳn là sẽ có nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn.


Mời bạn download

$f(xy)-f(x)f(y)=2014(f(x+y)-2xy-1)$

Saturday, July 18, 2015 0 nhận xét

Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, biết rằng $f$ là hàm chẵn và thỏa mãn:
$$f(xy)-f(x)f(y)=2014(f(x+y)-2xy-1),\forall x, y\in \mathbb{R} \quad \quad (1)$$
Giải
Thay $y$ bằng $-y$ vào $(1)$, ta có:
$$f(xy)-f(x)f(y)=2014(f(x-y)+2xy-1) \quad \quad (2)$$
Trừ từng vế của $(2)$ cho $(1)$, ta có:
$$f(x+y)=f(x-y)+4xy, \forall x, y\in \mathbb{R} \quad \quad (3)$$
Thay $x=y$ vào $(3)$, ta có:
$$f(2x) = 4x^2+f(0), \forall x \in \mathbb{R}$$
Đổi biến, ta được:
$$f(x) = x^2 + f(0), \forall x \in \mathbb{R}$$

Thay $x=y=0$ vào $(1)$, ta có:
$$f(0)-[f(0)]^2 = 2014[f(0)-1] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  f(0) = 1 \\   f(0) =  - 2014   \end{array} \right.$$

Vậy các hàm số cần tìm là:
$$f(x)=x^2 +1 ; f(x) = x^2 - 2014$$

Fanpage

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.