Cái nào khó hơn?

Tuesday, March 7, 2017 0 nhận xét

- Con trai! Vì con hay làm điều tốt nên ta sẽ tặng con 1 điều ước.
- Thưa Bụt, con vừa lùn, vừa già, vừa xấu, con muốn trúng xổ số jackpot.
- Hơ... Liên quan nhỉ. Nhưng không được. Xác suất trúng jackpot là 1/8145060. Mà con thì chả bao giờ mua vé. Hãy chọn điều khác đi.
- Vậy con xin một người con gái yêu mình...
- Thôi được rồi, con muốn trúng bảo nhiêu tỉ.

Không gian vectơ các số đại số

Thursday, February 23, 2017 0 nhận xét

Bài toán:
Chứng minh rằng tập hợp $\mathbb{A}$ các số đại số lập thành một không gian vectơ trên trường $\mathbb{Q}$.
Giải:
Ta chỉ cần chứng minh rằng tập hợp $\mathbb{A}$ là một không gian con của không gian vectơ $\mathbb{C}$ trên trường $\mathbb{Q}$. Muốn vậy, ta chứng minh rằng $\mathbb{A}$ đóng kín với phép cộng và phép nhân vô hướng.

Giả sử $\alpha, \beta$ là các số đại số bất kì. Khi đó, tồn tại hai đa thức $f(x), g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ lần lượt nhận $\alpha,\beta$. Giả sử $\deg f(x) = m \geq 1, \deg g(x) = n \geq 1 $.

Xét:
$$\mathbb{B} = \left \{ \sum q_{ij}\alpha ^i \beta ^j, \quad q_{ij} \in \mathbb{Q} \right \} \subset \mathbb{C} $$

Bổ đề:
Mọi phần tử $\alpha ^k$ với $k\geq m$ đều là tổ hợp tuyến tính của:
$$1, \alpha, ..., \alpha^{m-1}$$ 

Chứng minh bổ đề bằng quy nạp.
Thật vậy, với $k=m$, nếu:
$$f(x) = a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + ... + a_0, \quad a_m \neq 0$$
Thì
$$\alpha ^m = -\frac{a_{m-1}}{a_m}.\alpha ^{m-1} - ... -\frac{a_0}{a_m}.1$$
Giả sử:
$$\alpha^k = b_{m-1}.\alpha^{m-1}+...+b_0.1$$
Khi đó:
$$\begin{align*}\alpha^{k+1} &= \alpha.\left(b_{m-1} \alpha^{m-1}+...+b_0.1 \right) \\
&= b_{m-1}\alpha^m + \left( b_{m-2}\alpha^{m-1}+...+b_0.\alpha \right)\\
&= b_{m-1} \left(-\frac{a_{m-1}}{a_m}.\alpha ^{m-1} - ... -\frac{a_0}{a_m}.1\right)+ \left( b_{m-2}\alpha^{m-1}+...+b_0.\alpha \right) \\ &=c_{m-1}\alpha^{m-1}+...+c_0.1\end{align*}$$

Bổ đề được chứng minh xong.

Tương tự, mọi phần tử $\beta ^p$ với $p\geq n$ đều là tổ hợp tuyến tính của:
$$1, \beta, ..., \beta^{n-1}$$ 

Do đó, mọi phần tử của $\mathbb{B}$ đều là tổ hợp tuyến tính của $m.n$ phần tử của các phần tử dạng 
$$\alpha ^i \beta ^j;\quad  i=0,1,...,m; \quad j=0,1,...,n$$
Suy ra: $\dim \mathbb{B} \leq mn$
Các phần tử:
$$1=(\alpha + \beta)^0, (\alpha + \beta), ..., (\alpha + \beta)^{m.n}$$phải phụ thuộc tuyến tính. Tức là tồn tại các số $d_i, i=0,1,...,mn$ sao cho:
$$d_0.1 + d_1.(\alpha+\beta) +...+ d_{mn}(\alpha + \beta)^{m.n} = 0$$Vậy tồn tại đa thức: 
$$h(x) = d_0 + ... +d_{mn}x^{mn}\in \mathbb{Q}[x]$$
nhận $\alpha+\beta$ làm nghiệm.
Do đó $\alpha+\beta \in \mathbb{A}$, hay $\mathbb{A}$ đóng kín với phép cộng.

Tương tự: 
$$r\alpha \in \mathbb{A}, \forall \alpha \in \mathbb{A}, \forall r \in \mathbb{Q}$$
Vậy $\mathbb{A}$ là một không gian vectơ con của $\mathbb{C}$ trên trường $\mathbb{Q}$.

Chéo nhau

Thursday, January 19, 2017 0 nhận xét

Ta sẽ chẳng bao giờ đến được với nhau đâu
Chuyện tình yêu thôi chỉ là ảo vọng
Điểm vô cực ở tận cùng con sóng
Hai chân trời hai đứa hai nơi.

Anh ước gì mình được song song thôi
Xa cách đấy nhưng vẫn còn đồng phẳng
Không gặp được nhau, mình còn chung mưa nắng
Khoảng cách không lời ta để lại phía sau

Anh và em hai đường thẳng chéo nhau
Mọi chuyện lạc vào không gian vô tận
Anh vẫn tìm (đã yêu không hối hận)
Đoạn vuông góc nào chung của hai ta.

Em mải theo những phù phiếm xa hoa
Chỉ mình anh vẽ lại hình cuộc sống
Biển là gì khi không có sóng
Hình khối nào chẳng có những chéo nhau.

Tập 2 - Khuyên dại

Sunday, January 8, 2017 0 nhận xét





 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.