Em đi

Wednesday, April 23, 2014 0 nhận xét

Tặng Ngọc

Em đi bỏ lại cơn mưa
Chỉ còn tôi với bài thơ chưa thành
Pác Khuông sắp đến chợ tình
Em đi bỏ mặc một mình tôi say

Này là
Hoa 
gió
cỏ
mây
Nửa đi lưu luyến?
Nửa này vấn vương.

Này là
Yêu
ghét
nhớ
thương
Mình tôi đếm giữa sân trường chiều mưa

Đồng biến trên $\left. (-\infty ;-1 \right]\cup \left[ 2;+\infty ) \right.$

Sunday, April 20, 2014 0 nhận xét

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số
$$ y=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)x+1$$
đồng biến trên $\left. (-\infty ;-1 \right]\cup \left[ 2;+\infty ) \right.$


Giải
Cách 1
Đặt $K=\left. (-\infty ;-1 \right]\cup \left[ 2;+\infty ) \right.$
Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi  chỉ khi
\begin{align}y' \geq 0, \forall x \in K & \Leftrightarrow & \left\{\begin{matrix} m \geq \frac{3x^2-6x+5}{12(x-1)}&, \forall x \in \left. (-\infty ;-1 \right] \\ m \leq \frac{3x^2-6x+5}{12(x-1)}&, \forall x \in \left[ 2;+\infty ) \right. \end{matrix}\right.\\& \Leftrightarrow & \left\{\begin{matrix} m \geq \max_{\left. (-\infty ;-1 \right]}g(x) \\ m \leq \min_{\left[ 2;+\infty ) \right.}g(x) \end{matrix}\right. \end{align}
Trong đó: $g(x) = \frac{3x^2+6x-5}{x-1}$. Ta có:
$$ g'(x) = \frac{3x^2-6x+1}{12(x-1)^2} $$
Phương trình $g'(x) = 0$ vô nghiệm trên $K$.
$$g(-1) = -\frac{7}{12};g(2)=\frac{5}{12};\lim_{x\to +\infty}g(x) = +\infty; \lim_{x\to -\infty}g(x) = -\infty$$
Do đó
$$ \max_{\left. (-\infty ;-1 \right]}g(x) =-\frac{7}{12}; \min_{\left[ 2;+\infty ) \right.}g(x)=\frac{5}{12}$$
Vậy:
$$\eqref{pt27} \Leftrightarrow -\frac{7}{12} \leq m \leq \frac{5}{12} $$

Cách 2
Dễ thấy $y'$ là tam thức bậc hai có: $\Delta ' = 6(6m^2-1)$.\\
*Trường hợp 1. Nếu $-\frac{1}{\sqrt{6}}\leq m \leq \frac{1}{\sqrt{6}}$ thì $\Delta ' \leq 0$. Khi đó $y' \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$. Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

*Trường hợp 1 Nếu $m < -\frac{1}{\sqrt{6}}$ hoặc $m > \frac{1}{\sqrt{6}}$ thì $\Delta ' > 0$. Khi đó phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2(x_1<x_2)$. 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:
\begin{align*}-1 \leq x_1 <x_2 \leq 2 & \Leftrightarrow & \left\{\begin{matrix}(x_1-2)(x_2-2) \geq 0\\(x_1+1)(x_2+1)\geq 0 \\ x_1+x_2 \geq -2\\ x_1+x_2 \leq 4\end{matrix}\right. \\ & \Leftrightarrow & \left\{\begin{matrix}\frac{12m+5}{3}-2.2(2m+1)+4 \geq 0\\ \frac{12m+5}{3}+2(2m+1)+1\geq 0 \\2(2m+1) \geq -2 \\ 2(2m+1)\leq 4  \end{matrix}\right. \\ & \Leftrightarrow & -\frac{7}{12} \leq m \leq \frac{5}{12}\end{align*}
Kết hợp cả hai trường hợp, ta có đáp án của bài toán là:
$$-\frac{7}{12} \leq m \leq \frac{5}{12}$$

Cách 3
Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi
$$3x^2-6(2m+1)x+12m+5 \geq 0 \forall x \in K$$
Dễ thấy $h(x) = 3x^2-6(2m+1)x+12m+5$ là tam thức bậc hai có hoành độ đỉnh: $x_0=2m+1$ và:
$$g(-1)=14+24m;g(1)=5-12m;g(2m+1)=2(1-6m^2)$$
Do parabol $y=h(x)$ có bề lõm quay lên trên nên yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi: $g(2m+1) \geq 0 $ hoặc
$$\left\{\begin{matrix}g(-1) \geq 0 \\ g(2) \geq 0 \end{matrix}\right.$$
Điều này tương đương với:
$$-\frac{7}{12} \leq m \leq \frac{5}{12}$$

Tạo hình nón từ hình tròn

Tuesday, April 15, 2014 0 nhận xét

Bài toán:
Cho một miếng inox hình tròn có đường kính $D$. Cần phải cắt miếng inox đó như thế nào để có thể tạo ra một hình nón có đường kính đáy là $d$, chiều cao là $h$.
 photo h1_zpsf437a771.png
Giải
Giả sử đoạn ta cần căt bỏ là phần được tô màu vàng trên hình vẽ.
 photo h2_zps0b1bd426.png

Đường sinh của hình nón cần làm là:
$$l = \sqrt{h^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2}$$
Đường sinh đó chính là bán kính của hình quạt $A$ và độ dài cung tròn của $A$ cũng bằng chu vi đáy hình nón. Do đó:
$$l(2\pi - \alpha) = d\pi \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi(2l-d)}{l}$$

Công thức trên, $\alpha$ được đo bằng radian. Do đó, công thức theo đơn vị độ là:
$$\alpha = \frac{2l - d}{l} \times 180^o $$

Đố vui 36 - Champions League 2014

Friday, April 11, 2014 0 nhận xét

Lọt vào đến bán kết Champions League 2014 có 4 đội là: Real Madrid (Tây Ban Nha), Bayern Munich (Đức), Atletico Madrid (Tây Ban Nha), Chelsea (Anh). Các đội sẽ bốc thăm để chọn cặp đấu. Hai đội thắng ở 2 cặp đấu đó sẽ thi đấu trận chung kết để tranh ngôi vô địch.

Trong hai trường hợp dưới đây, trường hợp nào cho xác suất chức vô địch Champions League 2014 thuộc về 1 đội bóng Tây Ban Nha cao hơn?

Trường hợp 1: Hai đội bóng Tây Ban Nha gặp nhau ở Bán kết.
Trường hợp 2: Hai đội bóng Tây Ban Nha không gặp nhau ở Bán kết.

(Giả sử rằng các đội đều ngang sức ngang tài, kết quả các trận đấu hoàn toàn khách quan và độc lập với nhau).

Phim toán học Dimensions tập 8

Sunday, April 6, 2014 0 nhận xét

 
Copyright © 2012 Chú lùn thứ tám. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Chú lùn thứ tám khi phát hành lại thông tin trên trang này.