Chuyển 3 lên đầu thì gấp 3

Bài toán:
Một số tự nhiên tận cùng bằng 3. Chuyển số 3 đó đưa lên đầu, ta được môt sô lớn gấp 3 lân sô đầu tiên. Tìm số ban đầu.

Giải
Giả sử số đó có dạng: $r.10^n$. Dễ thấy $r \in [1;2)$. Sau khi di chuyển số $3$, ta được số: 

$3.10^n +\frac{r.10^{n}-3}{10}$. Theo bài:

$$3r.10^n = 3.10^n +\frac{r.10^{n}-3}{10}$$
$$\Leftrightarrow r = \frac{30}{29}-\frac{30}{29}.10^{1-n}$$
Giải PT trên ta thu được $n=26$ và $r = 1,034482758620689655172413793$
Vậy số cần tìm là: $1.034.482.758.620.689.655.172.413.793$