Ngày xửa ngày xưa, ở một nơi xa hơn mọi chân trời mà con người có thể tưởng tượng, tồn tại một vương quốc kỳ lạ mang tên Vương quốc Vô hạn. Ở đó có một điều luật thiêng liêng được khắc trên cổng thành:
“Mọi tập vô hạn đều vô hạn trước hàm lực lượng.”
Không ai hơn. Không ai kém. Những cư dân của vương quốc tin rằng đó là chân lý tuyệt đối. Tập các số tự nhiên $\mathbb{N}$ là vô hạn. Tập các số nguyên $\mathbb{Z}$ cũng vô hạn. Tập các số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ vô hạn. Và tập các số thực $\mathbb{R}$ cũng vô hạn. Vì thế, trong mắt người dân, tất cả chúng đều bình đẳng. “Vô hạn là vô hạn! Vô hạn muôn năm! Tự do, vô hạn, bác ái. Dân giàu, nước mạnh, xã hội vô hạn, dân chủ, văn minh” – họ thường nói.
Một ngày nọ, có một cư dân trẻ tên là Cantor xuất hiện. Cantor không hài lòng với câu nói “vô hạn là vô hạn”. Anh hỏi:
- Các bạn nói hai tập vô hạn đều vô hạn. Nhưng liệu chúng có nhiều vô hạn phần tử như nhau không?
Mọi người cười ầm lên. Một cụ già nói:
- Cậu định đếm đến vô tận để so sánh chúng sao?
Cantor mỉm cười.
- Không. Tôi sẽ ghép từng phần tử của tập này với đúng một phần tử của tập kia.
Anh lấy ra hai chiếc ghế. Một chiếc mời tập số tự nhiên $\mathbb{N}$ ngồi xuống: 1, 2, 3, 4, 5, … Chiếc kia mời các số chẵn ngồi: 2, 4, 6, 8, 10, … Mỗi số tự nhiên có đúng một số chẵn tương ứng.
- Vậy hai tập này có cùng một lượng vô hạn.
Cantor nói và gọi đó là vô hạn đếm được.
Nhưng rồi anh làm một việc khiến cả vương quốc chấn động. Anh mời đến tập số thực $\mathbb{R}$. Anh và mọi người thử ghép cặp với $\mathbb{N}$ mà không sao ghép được. Và thế là người dân lần đầu tiên biết rằng có một loại vô hạn lớn hơn vô hạn đếm được. Họ đặt tên cho nó: Vô hạn không đếm được.
Tập $\mathbb{R}$ nghe thấy hết. Nó trở thành một cư dân rất kiêu hãnh. Nó đi khắp nơi và nói:
- Cuối cùng tôi cũng biết mình đặc biệt!
Nó nhìn những tập như $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ và mỉm cười.
- Các bạn là những vô hạn đếm được. Còn tôi là vô hạn không đếm được. Cùng là vô hạn, nhưng tôi vô hạn hơn. Có những định luật áp dụng được với các bạn chứ không áp dụng với tôi.
R gia nhập một tầng lớp mới: Hội những tập vô hạn không đếm được. Trong hội ấy có rất nhiều thành viên: $(0,1), [0,1], \mathbb{R}, \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, … Tập $\mathbb{R}$ nhìn quanh và cảm thấy rất vui. Nó nghĩ:
- Thật tuyệt! Chúng ta đã vượt qua những vô hạn đếm được. Bây giờ, ít nhất những người trong hội chúng ta đều bình đẳng.
Một thành viên nói:
- Đúng vậy. Chúng ta đều có lực lượng c. Chúng ta đều lớn như nhau. $\mathbb{R}$ càng vui hơn. Nó tưởng rằng cuối cùng mình đã tìm được một nơi mà mọi vô hạn đều bình đẳng.
Nhưng rồi một buổi sáng, một người đưa tin chạy vào quảng trường. Anh ta hét lớn:
- Có chuyện rồi!
Tất cả mọi người quay lại.
- Chuyện gì?
Người đưa tin thở hổn hển:
- Có một tập vô hạn không đếm được... lớn hơn tập $\mathbb{R}$!
Quảng trường im phăng phắc. $\mathbb{R}$ bật cười.
- Anh nói gì vậy? Tôi đã là vô hạn không đếm được rồi. Cái gì có thể lớn hơn tôi?
Người đưa tin không trả lời. Anh chỉ đưa ra một chiếc hộp. Trên đó viết $\mathcal{P}(\mathbb{R})$, anh ta nói:
- Đây là tập hợp tất cả các tập con của $\mathbb{R}$.
Tập $\mathbb{R}$ nhìn chiếc hộp.
- Thì sao?
- Cantor nói lực lượng của tập này lớn hơn hẳn lực lượng của anh.
- Lớn hơn... tôi? Nhưng tôi đã là vô hạn không đếm được!
- Đúng. Nhưng $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ cũng là vô hạn không đếm được và nó nhiều hơn anh thực sự
Tập $\mathbb{R}$ không biết phải nói gì. Ngày hôm ấy, Cantor trở lại quảng trường. Anh viết lên bảng:
$|\mathbb{N}| < |\mathbb{R}| < | \mathcal{P}(\mathbb{R})|.$
Rồi anh nói:
- Và nếu các bạn muốn, chúng ta lại có thể lấy tập tất cả các tập con của tập vừa rồi.
Anh viết tiếp:
$|\mathcal{P}(\mathbb{R})| < |\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))|.$
Rồi tiếp nữa. Và nữa. Không có điểm cuối. Mỗi lần một tập tưởng rằng mình đã đạt đến “vô hạn lớn nhất”, Cantor lại có thể tạo ra một tập vô hạn lớn hơn nó:
Những cư dân của Vương quốc Vô hạn chợt nhận ra rằng trước mắt họ không phải là một đại dương vô tận duy nhất. Mà là những đại dương nằm trong những đại dương, những bầu trời nằm trên những bầu trời, mỗi tầng lại mở ra một thế giới rộng lớn hơn tầng trước.
Còn $\mathbb{R}$, kẻ từng rất tự hào vì mình thuộc về “những vô hạn không đếm được”, giờ chỉ mỉm cười. Nó đã hiểu một điều mà trước đây nó chưa từng nghĩ tới: Ngay cả trong thế giới của những kẻ không thể đếm, vẫn có những kẻ không thể đếm được nhiều hơn những kẻ không thể đếm.
Và ở đâu đó, Cantor lại đang mỉm cười. Bởi anh biết rằng câu chuyện ấy... sẽ không bao giờ có chương cuối. Giống như chuyện ở xã hội loài người vậy.
