Lô hay đề (phần 4)

Xem Phần 3

Bài toán 6
Với cách đánh như bài toán 5, ta sẽ lãi được bao nhiêu?

Giải

Giả sử ta chỉ đánh 1 con lô. Lưu ý: ở đây không nhất thiết là không đổi. Tức là hôm nay đánh 22, nếu không trúng, ngày mai đánh 32, miễn là mỗi ngày đánh 1 con lô. Giả sử như vậy để bớt đi ẩn.

Trước hết, ta tìm số lãi trung bình nếu đánh thắng trong 1 ngày.
$$l=\frac{\sum_{k=1}^{27}C_{27}^{k}(0,01)^k.(0,99)^{27-k}(80k-23)}{1-(0,99)^{27}}=\frac{21.6}{1-(0,99)^{27}}\approx 28,33371$$

Kí hiệu $T$ là biến cố “trúng ít nhất một nháy”, còn $H$ là biến cố “trượt cả dàn 27 con lô”. Ta có không gian mẫu đánh đến lúc trúng hoặc đến lần thứ $n$ như sau

$$\Omega =\{T, HT, HHT, ..., HH...HT, HH...HH \}$$
Kì vọng thu được như sau:
$$E(n)=\sum_{k = 1}^n  \left [ (0,99^{27})^{k - 1} (1 - 0,99^{27} ).l - 23( 0,99^{27} )^n \right ] .u_k$$

$$=\sum_{k = 1}^n  \left [ (0,99^{27})^{k - 1} .21,6 - 23( 0,99^{27} )^n \right ] .u_k$$

Trong đó $(u_n)$ là dãy số được nói đến ở bài toán 2.

Sử dụng Pascal,

uses crt;
const
 a = 23/57;

var
 i,j,k,n : longint;
 e, b: real;

function u (k: longint):longint;
var s, t: longint;
begin
 s:=0;
 t:=0;
 for i:= 1 to k do
 begin
  s:= 1+ trunc(a*t);
  t:= s+t;
 end;
 u:=s;
end;
BEGIN
 clrscr;
 readln(n);
 b:= exp(27*ln(0.99)); 
 e:=0;
 for j:= 1 to n do e:=e+(exp((j-1)*ln(b))*21.6-23*exp(n*ln(b)))*u(j);

  writeln(e:4:8);
 readln
END.

Ta tính được $E(34) \approx 1482,507$.

Như vậy, lãi trung bình theo cách đánh này là $1.482.507$ (một triệu bốn trăm tám mươi hai nghìn năm trăm lẻ bảy đồng).
 

Tiếp theo ta nói đến yếu tố thực tế.

Nếu ta đánh 33 ngày mà chưa trúng thì đến ngày thứ 34, ta đã đánh hết số tiền là:

$$23.000*\sum_{k=1}^{34}u_{k} = 3.865.242.000$$

Như vậy để đủ sức đánh tới ngày 34, bạn cần có 1 số vốn lớn. Và còn rất mạo hiểm vì riêng ngày thứ 34, bạn sẽ đánh:

$$23.000*u_{34} = 23.000*48.316 = 1.111.268.000$$

Khi bạn đánh tới $48.316$ điểm lô thì không ai dám đảm bảo với bạn rằng kết quả xổ số ngày hôm đó sẽ không có gian lận.