Lô hay đề (phần 3)

Xem Phần 2

Bài toán 4:

Giả sử ta đánh LÔ trong $n$ ngày liên tiếp. Hãy ước lượng $n$ để xác suất ta trúng 1 lần đạt gần 100%.

Giải

Gọi $A$ là biến cố trong $n$ ngày, ta không trúng lần nào.

Gọi $B$ là biến cố ta chúng ít nhất 1 lần.

Xác suất để ta trượt cả $27$ con lô trong dàn lô của một ngày là: $0,99^{27}$. Do đó:

$$P(A) = 0,99^{27n}$$

Vậy:

$$P(B)=1-P(A) = 1-0,99^{27n}$$

$$P(B) > m \Leftrightarrow 0,99^{27n} < 1-m \Leftrightarrow n > \frac{log_{0,99}(1-m)}{27}$$

Với $m=0,9999$, ta có: $n > 33,9$, tức là trong vòng $34$ ngày thì xác suất ta đánh trúng ít nhất 1 lần là $99,99$%. 

Như vậy nhận định

Quote"không có con lô nào mà quá 50 ngày không ra"

là hoàn toàn xác đáng

Bài toán 4'

Giả sử ta đánh ĐỀ trong $n$ ngày liên tiếp. Hãy ước lượng $n$ để xác suất ta trúng 1 lần đạt gần 100%.

Giải

Bằng cách tương tự như trên, ta có BĐT:

$$n > log_{0,99}(1-m)$$

Với $m=99,99$, ta có: $n > 916,4$, tức là trong vòng 915 ngày thì xác suất ta đánh trúng ít nhất 1 lần là $99,99$%

Như vậy nhận xét:

Quotexác xuất để trúng một con đề trong 100 ngày là rất lớn (coi 100%),

là sai

Bài toán 5
Hãy nêu thuật toán để đánh lô sao cho có lợi nhất
Giải
Sau đây ta sẽ đánh nuôi một con lô cho đến khi nó về.
Gọi $u_i$ là số điểm lô ta đánh ở ngày thứ $i$, $u_1=1$. Khi đó, số tiền ít nhất mà ta nhận được khi ta trúng (1 nháy) ở ngày thứ $n$ là:
$$T=80u_n-23\sum_{i=1}^{n}u_i$$
Rõ ràng là ta cần $T>0$. Ta có:
$$T>0\Leftrightarrow 80u_n-23u_n-23\sum_{i=1}^{n-1}u_i>0\Leftrightarrow u_n > \frac{23}{57}\sum_{i=1}^{n-1}u_i$$
Như vậy, ta cần xác định dãy số $(u_n)$ nguyên dương thỏa mãn:
$$\left\{\begin{matrix}u_1=1\\u_n>\frac{23}{57}\sum_{i=1}^{n-1}u_i, \forall n \geq 1 \end{matrix}\right.$$

Đơn giản nhất, ta có thể chọn:
$$u_n = \left [\frac{23}{57}\sum_{i=1}^{n-1}u_i  \right ]+1, \forall n \geq 1$$
Tức là ta có số điểm lô sẽ đánh từng ngày là:
$$1,1,1,2,3,4,5,7,10,14,20,28,39,55,...$$

Xem phần 4