Khám phá cách giải một số bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là nội dung thường gặp trong Kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (nay gọi là Kỳ thi THPT Quốc gia). Ngoài ra, trong Kỳ thi HSG những năm gần đây, đề thi của nhiều tỉnh cũng có nội dung này. Đây thường là câu phân loại thí sinh. Các bài toán thường là phải áp dụng tính chất hình học trước khi sử dụng biến đổi đại số chứ không còn là các kĩ thuật tính toán đại số thông thường như trước kia.


Với mục đích ôn luyện đội tuyển HSG và quan trọng hơn là hướng tới kì thi THPT Quốc gia chung, tôi biên soạn tài liệu nhỏ này với hi vọng sẽ giúp các em hình dung chút ít về nội dung này.

Tài liệu có cấu trúc tương đối lạ. Em sẽ thấy một số mục của nó đảo lộn linh tinh và đọc dòng trên với dòng dưới không liên quan gì đến nhau.

Đừng lo. Đó là do em đọc ngẫu nhiên và chỉ đọc mà không làm. Hãy đọc tuần tự và làm theo hướng dẫn. Mọi sư lộn xộn sẽ trở lên ngăn nắp.

Khi gặp kí hiệu $\boxed{\textbf{Y}} HD 15-tr.16$ thì em cần hiểu là phải tự làm theo hướng dẫn ở trên nó và nếu đã làm được điều đó rồi thì tự làm tiếp hoặc theo HD $15$ trang $16$.

Khi gặp kí hiệu $\boxed{\textbf{N}} HD 17-tr.18$ thì em nên đọc kĩ hướng dẫn và tự làm, nếu làm mãi mà không ra thì xem HD $17$ trang $18$

Hi vọng em sẽ thấy thú vị với tài liệu kiểu này.

Trong quá trình biên soạn vội vàng, nhất định khó tránh khỏi thiếu sót. Rất mong các em phát hiện và phản hồi.

Download 

Read more »

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp

Bài toán:

Trong mp Oxy cho $\Delta ABC$, trên $AB, AC$ lấy $E, D$ sao cho $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADB$ cắt $CE$ tại $M(1;0)$ và $N(2;1)$. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta ACE$ cắt $BD$ tại $I(1;2)$ và $K$. viết phương trình đường tròn ngoại tiếp $\Delta MNK$.

Giải 

Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ và $AL$ là đường kính đường tròn đó. Khi đó:

$$\widehat{A_3}+\widehat{C_4}=\widehat{B_2}+\widehat{B_1}=90^o$$

Do đó $AJ \bot MN$.

Suy ra $AM=AN$

Chứng minh tương tự ta có: $AI=AK$

Vậy bốn điểm $M,N,I,K$ thuộc đường tròn tâm $A$. Bài toán trở nên dễ dàng, kể cả việc tìm tọa độ điểm $A$

Read more »

Tìm tọa độ $A$, biết $B, C$ tâm ngoại tiếp $I$, hình chiếu của $M$ là $H$

Bài toán 

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác nhọn $ABC$ có $B\left ( -1;-2 \right );C\left ( 6;-1 \right )$, tâm đường tròn ngoại tiếp là $I\left ( 2;2 \right )$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC; H$ là hình chiếu của $M$ lên $AB$. TÌm tọa độ $A$ biết $H$ thuộc đường thẳng $5x-y-1=0$ và $H$ có hoành độ dương.

Hướng dẫn:

- Tính $\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IC}$ và suy ra tam giác $IBC$ vuông cân tại $I$. Từ đó suy ra $\widehat{A}=45^o$.

- Suy ra $\tan \widehat{H_1} = 2$. Vậy $H$ luôn nhìn $BC$ một góc không đổi. Nên $H$ thuộc đường tròn tâm $J \in IN$.

Tìm được $J$ là trung điểm $IN$.

- Viết phương trình đường tròn tâm $J$, bán kính $IJ$. Đường tròn này cắt $d:5x-y-1=0$ tại $H$.

- Viết phương trình $BH$

- Viết phương trình đường tròn $(ABC)$ tâm $I$, bán kính $IB$.

- Tìm được tọa độ $A = BH \cap (ABC)$

Read more »

Tìm $A,B,C$ biết trực tâm $H$, trung điểm $BC$, đường cao $AH$, đường thẳng đi qua hai chân đường cao

Bài toán

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H(3;0)$ và trung điểm $BC$ là $I(6;1)$. Đường thẳng $AH:x+2y-3=0$. Gọi $D, E$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC$. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$, biết đường thẳng $DE: x-2=0$ và điểm $D$ có tung độ dương. 

Hướng dẫn

Gọi $K$ là trung điểm $AH$. Dễ thấy $ADHE$ nội tiếp đường tròn tâm $K$, còn $BCDE$ nội tiếp đường tròn tâm $I$. Do đó $IK \perp DE$.

Vậy ta viết được phương trình $KI$.

Từ đó tìm được $K$ và $A$

Tìm được $D,E$ bằng các xét giao điểm của $DE$ với đường tròn tâm $K$.

Viết phương trình các đường $BC,DH,EH$.

Từ đó tìm được $B,C$

Read more »

Tìm $B,C$ biết $A$, đường phân giác $AD$, tâm ngoại tiếp $I$.

Bài toán:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;5)$, đường phân giác trong góc $A$ có phương trình $x=1$. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $I\left( -\frac{3}{2} ; 0 \right)$ và điểm $M(10;2)$ thuộc đường thẳng $BC$. Tìm tọa độ $B,C$

Hướng dẫn:

Đường phân giác trong góc $A$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $D$. Dễ thấy $D$ là điểm chính giữa cung $BC$. Do đó $ID \perp BC$. 

Ta viết được phương trình $BC$ đi qua $M$ và vuông góc với $ID$.

Giao điểm của $BC$ với đường tròn tâm $I$ chính là hai điểm cần tìm.

Read more »

Tìm tọa độ $ABC$ biết trung điểm $BC$, là hình chiếu của $B$ lên $AI$ và PT $AC$

Bài toán: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $I$.

Điểm $M(2;-1)$ là trung điểm cạnh $BC$ và điểm $E\left(\frac{31}{13};-\frac{1}{13}\right)$ là hình chiếu của $B$ lên $AI$

Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$, biết đường thẳng $AC: 3x+2y-13=0$

Nhận xét

Giả sử $EM \cap AC = H$. Ta chứng minh rằng $BH \perp AC$.

Thật vậy, ta có:

$\begin{align*} \widehat{C_1} & = \frac{1}{2} \widehat{I_2} \\ & = 90^o-\frac{1}{2}\widehat{I_1} \\ & = 90^o-\frac{1}{2}\widehat{M_1} \\ & = 90^o-\frac{1}{2}(180^o-\widehat{C_1}-\widehat{H_1} \\ & =\frac{1}{2}\widehat{C_1}+\frac{1}{2}\widehat{H_1} \end{align*}$

Vậy $\widehat{C_1}=\widehat{H_1}$. Suy ra $BM=MC=MH$, hay $H$ thuộc đường tròn đường kính $BC$. Suy ra $BH \perp AC$

Từ đây ta có cách giải:

- Viết phương trình đường thẳng $ME$

- Tìm tọa độ $H$

- Viết phương trình $BH$ (đi qua $H$ và vuông với $AC$. 

- Tham số hóa tọa độ của $B,C$ và sử dụng giả thiết $M$ là trung điểm. Tìm được $B,C$.

- Viết phương trình $AI$ đi qua $E$ và vuông với $BE$

- Tìm được tọa độ của $A = AI \cap AC$

Read more »

Hình chữ nhật 1

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A(5; - 7)$, điểm $C$ nằm trên đường thẳng có phương trình: $(d_1):x - y + 4 = 0$ . Đường thẳng đi qua đỉnh $D$ và trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có phương trình: $(d_2): 3x - 4y - 23 = 0$. Tìm tọa độ của $B$ và $C$ biết điểm $B$ có hoành độ dương.

Giải

Gọi $E$ là giao điểm của $AC$ và $(d_2)$. Dễ thấy: $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AE}$

Giả sử $E(4e+1;3e-5) \in (d_2), C(c;c+4) \in (d_1)$, ta có:

$$\left\{\begin{matrix}c-12e=-7\\c-9e=-5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=1\\e=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$$

Từ đó $E\left ( \frac{11}{3};-3 \right ), C(1;5)$. 

Đường thẳng đối xứng với $(d_2)$ qua tâm $I(3;-1)$ của hình chữ nhật có phương trình:

$$(d):3x-4y-3=0$$

Đường tròn đường kính $AC$ có phương trình:

$$(x-3)^2+(y+1)^2 = 40$$

Giao điểm của đường tròn trên và $(d)$ có hoành độ dương chính là điểm $B$

Read more »

Viết PTĐT $d$ đi qua $A$ sao cho: $d_{(B,d)} + d_{(C,d)}$ lớn nhất.

Bài toán:

Cho các điểm $A(1;1), B (2;5), C(4;7)$. Chứng minh tam giác $ABC$ có góc $A$ nhọn. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ sao cho: $d_{(B,d)} + d_{(C,d)}$ lớn nhất.

Giải

Đường thẳng đi qua $A$ và không có hệ số góc là: $d_0: x=1$. Ta có:

$$d_{(B,d_0)} = 1;d_{(C,d_0)} = 3$$

Đường thẳng đi qua $A$, với hệ số góc $k$ có phương trình: $d: kx-y-k=0$. Ta có:

$$d_{(B,d)} = \frac{|k-5|}{\sqrt{k^2+1}};d_{(C,d)} = \frac{|3k-7|}{\sqrt{k^2+1}}$$

Ta có: $d_{(B,d_0)} +d_{(C,d)} = 4$. Mặt khác

$$\begin{align*}f(k)&=d_{(B,d)} +d_{(C,d)}\\ &= \frac{|k-5|+|3k-7|}{\sqrt{k^2+1}} \\& =\left\{\begin{matrix}\dfrac{12-4k}{\sqrt{k^2+1}} & khi & k < \dfrac{7}{3}\\ \dfrac{2k-2}{\sqrt{k^2+1}} & khi & \dfrac{7}{3} \leq k < 5\\ \dfrac{4k-12}{\sqrt{k^2+1}} & khi & k \geq 5 \end{matrix}\right.\end{align*}$$

Lập bảng biến thiên của hàm số $f(k)$

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

$$\max f(k) = f\left(-\frac{1}{3} \right) = 4\sqrt{10} > 4 $$

Do đó, phương trình đường thẳng cần tìm là:

$$y= -\frac{1}{3}x +\frac{1}{3}$$

Read more »

Viết PT đường thẳng qua $M(3;1)$ ...

Viết phương trình đường thẳng đi qua $M(3;1)$ cắt $Ox, Oy$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho:

a) $OA+OB$ nhỏ nhất

b) Diện tích tam giác $OAB$ nhỏ nhất 

c) $\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}$ nhỏ nhất.

Giải

Giả $A\left( \frac{1}{a};0\right), B\left( 0; \frac{1}{b}\right)$. Phương trình đường thẳng $d$ cần tìm có dạng:

$$ax+by=1$$

Vì $M(3;1) \in d$ nên:

$$ 3a+b=1  \Leftrightarrow b = 1 - 3a $$

a) Ta có:

$$OA + OB = \left| {\frac{1}{a}} \right| + \left| {\frac{1}{b}} \right| \ge \left| {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right| = \left| {\frac{{3a + b}}{a} + \frac{{3a + b}}{b}} \right| = \ge 4 + 2\sqrt 3 $$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{3-\sqrt 3}{6};b=\frac{3\sqrt{3}-3}{6}$. Do đó phương trình cần tìm là:

$$\left(3-\sqrt 3\right )x+ \left(3\sqrt 3 - 3\right )y=6$$

b) Ta có:

$$S_{OAB}  = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {\frac{1}{{ab}}} \right| \ge \frac{1}{2}.\frac{1}{{ab}} \ge 6$$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{1}{6};b=\frac{1}{2}$. Do đó phương trình cần tìm là:

$$x+3y=6$$

c) Ta có:

$$\frac{1}{{OA^2 }} + \frac{1}{{OB^2 }} = a^2  + b^2  \ge \frac{{(3a + b)^2 }}{{3^2  + 1}} = \frac{1}{{10}}$$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{3}{10};b=\frac{1}{10}$. Do đó phương trình cần tìm là:

$$3x+y=10$$

Read more »

Lập PT $ (d) $ đi qua điểm $M$ và chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài toán

Cho tam giác $ ABC $ có phươnng trình các đường thẳng là:

$$ (AB): x - y + 2 = 0; (AC): 2x + y + 1 = 0; (BC): 4x - y -7 = 0 $$

Lập phương trình đường thẳng $ (d) $ đi qua điểm $ M \left ( \frac{3}{2} ; 6  \right ) $ và chia tam giác $ ABC $ thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Ta có 

$$A(-1;1);B(3;5);C(1;-3), S_{ABC}=12;$$
$$ \sin \widehat{ABC}=\frac{3}{\sqrt{34}};\sin \widehat{BAC}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$

Đường thẳng $(d)$ chia tam giác $ABC$ thành 2 phần có diện tích bằng $6$. Dễ thấy đường thẳng $(d)$ hoặc cắt $AB$ và $AC$ hoặc cắt $AB$ và $BC$

TRƯỜNG HỢP 1: $(d)$ cắt $AB$ và $AC$

Giả sử $(d)$ cắt $AB$ tại $D(d;d+2)$,(với $-1<d<3$), $(d)$ cắt $AC$ tại $E(e;-1-2e)$,(với $-1<e<1$). Ta có:

$$AD=\sqrt{2(d+1)^{2}};AE=\sqrt{5(e+1)^{2}}$$

$$S_{\Delta ADE}=\frac{1}{2}.AD.AE.\sin \widehat{BAC}=6\Leftrightarrow (d+1)^{2}.(e+1)^{2}=16$$

Mặt khác, do $D,E,M \in (d)$ nên $\overrightarrow{DM}$ cùng phương $\overrightarrow{EM}$. Ta có

$$\frac{3-2d}{3-2e}=\frac{4-d}{7+2e}$$

Ta có hệ:

$$\begin{cases} (d+1)^{2}.(e+1)^{2}=16\\ (3-2d)(7+2e)=(4-d)(3-2e) \end{cases}$$

Giải hệ ta được $\left\{\begin{matrix} d=\frac{-17+4\sqrt{34}}{5}\\ e=\frac{-2+\sqrt{34}}{5} \end{matrix}\right.$. Vậy

$$D\left (\frac{-17+4\sqrt{34}}{5};\frac{-7+4\sqrt{34}}{5}  \right ); E\left (\frac{\sqrt{34}-2}{5};\frac{-1-2\sqrt{34}}{5}  \right )$$

Ta có phương trình đường thẳng cần tìm:

$$(d):(6-6\sqrt{34})x+(3\sqrt{34}-15)y+81-9\sqrt{34}=0$$

TRƯỜNG HỢP 2: $(d)$ cắt $AB$ và $BC$

Giả sử $(d)$ cắt $AB$ tại $D(d;d+2)$ (với $-1<d<3$),  $(d)$ cắt $BC$ tại $F(f;4f-7)$ (với $1<f<3$)

Tương tự trường hợp 1 ta có:

$$\left\{\begin{matrix} d=\frac{27-2\sqrt{106}}{5}\\ f=\frac{15-\sqrt{106}}{7} \end{matrix}\right.$$

Trường hợp này bị loại vì $f < 1$

Read more »