Tìm tọa độ $ABC$ biết trung điểm $BC$, là hình chiếu của $B$ lên $AI$ và PT $AC$

Bài toán: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $I$.

Điểm $M(2;-1)$ là trung điểm cạnh $BC$ và điểm $E\left(\frac{31}{13};-\frac{1}{13}\right)$ là hình chiếu của $B$ lên $AI$

Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$, biết đường thẳng $AC: 3x+2y-13=0$

Nhận xét

Giả sử $EM \cap AC = H$. Ta chứng minh rằng $BH \perp AC$.

Thật vậy, ta có:

$\begin{align*} \widehat{C_1} & = \frac{1}{2} \widehat{I_2} \\ & = 90^o-\frac{1}{2}\widehat{I_1} \\ & = 90^o-\frac{1}{2}\widehat{M_1} \\ & = 90^o-\frac{1}{2}(180^o-\widehat{C_1}-\widehat{H_1} \\ & =\frac{1}{2}\widehat{C_1}+\frac{1}{2}\widehat{H_1} \end{align*}$

Vậy $\widehat{C_1}=\widehat{H_1}$. Suy ra $BM=MC=MH$, hay $H$ thuộc đường tròn đường kính $BC$. Suy ra $BH \perp AC$

Từ đây ta có cách giải:

- Viết phương trình đường thẳng $ME$

- Tìm tọa độ $H$

- Viết phương trình $BH$ (đi qua $H$ và vuông với $AC$. 

- Tham số hóa tọa độ của $B,C$ và sử dụng giả thiết $M$ là trung điểm. Tìm được $B,C$.

- Viết phương trình $AI$ đi qua $E$ và vuông với $BE$

- Tìm được tọa độ của $A = AI \cap AC$