Tìm số liệu bất thường trong Phổ điểm thi TN 2026 của tỉnh Tuyên Quang

 Từ số liệu ở trang https://vietnamnet.vn/chua-co-tien-le-7-so-bao-danh-lien-nhau-dat-10-toan-tot-nghiep-o-tuyen-quang-2532012.html, ta có bảng số liệu sau (Bảng 1)

Giả thiết 1. Coi các giá trị trong bảng là điểm và tần số, ta có

$n=17589$, $\frac{n}{4}=4397,25$, do đó $Q_1 =3,8$.

$\frac{3n}{4}=13191,75$, do đó $Q_3 = 6,2$

$$\Delta Q= Q_3-Q_1=2,4$$

$Q_3+1,5\Delta Q= 9,8 < 10$

$Q_1-1,5\Delta Q= 0,2$

Vậy 154 điểm 10 là bất thường.

Giả thiết 2. Coi các giá trị trong bảng là điểm đại diện. Để tiện tính $Q_1, Q_3$, ta xử lí số liệu bằng cách ghép nhóm lại như Bảng 2.

$n=15789$, $\frac{n}{4}=4397,25$, do đó $Q_1 \in (3,6; 3,8]$, ta có

$$Q_1=3,6+\frac{4397,25-4377}{930}.0,2=3,604$$

$\frac{3n}{4}=13191,75$, do đó $Q_3 \in (6; 6,2]$, ta có

$$Q_3=6+\frac{13191,75-12895}{513}.0,2=6,116$$

$$\Delta Q= Q_3-Q_1=2,511$$

$Q_3+1,5\Delta Q= 9,883 < 10$

$Q_1-1,5\Delta Q= -0,163$

Vậy nhóm dữ liệu $(9,8; 10]$ với 154 điểm 10 là bất thường.

Read more »

Phổ điểm kỳ thi THPT Quốc Gia 2015

Câu hỏi:

Hãy nêu nhận xét (trên mặt toán học) về phổ điểm của môn toán so với các môn còn lại

Read more »

Số bước tối đa

Trên bàn; người ta đặt $20$ tấm thẻ ; ghi số từ $1$ đến $20$
Với 1 bước ; người ta chọn ra $2$ tấm thẻ có sai biệt nhiều hơn $1$ đơn vị ; sau đó viết lại số trên $2$ thẻ này theo cách : Trừ 1 đơn vị từ thẻ có giá trị lớn hơn và cộng 1 đơn vị vào thẻ có giá trị nhỏ hơn để được 2 thẻ mới.
Hãy tính số bước tối đa có thể thực hiện


Trước hết là xét bài toán tổng quát:

QuoteTrên bàn; người ta đặt $1$ tấm thẻ ; ghi số từ $1$ đến $n$

Với 1 bước ; người ta chọn ra $2$ tấm thẻ có sai biệt nhiều hơn $1$ đơn vị ; sau đó viết lại số trên $2$ thẻ này theo cách : Trừ 1 đơn vị từ thẻ có giá trị lớn hơn và cộng 1 đơn vị vào thẻ có giá trị nhỏ hơn để được 2 thẻ mới.

Hãy tính số bước tối đa có thể thực hiện.

Gọi $m$ là số bước tối đa.
Ta sẽ giải bài này bằng ... thống kê, với bảng số liệu thống kê là $1,2, ..., n$
Dễ thấy, sau mỗi bước như trên, giá trị trung bình của bảng số liệu không đổi và bằng $\frac{n+1}{2}$.
Phương sai của bảng số liệu là:
$$\sigma_{0}^2 =\frac{\sum_{i=1}^{n} \left ( i-\frac{n+1}{2} \right )^2}{n} = \frac{1}{4n}\sum_{i=1}^{n}\left [ 4i^2-4(n+1)i+(n+1)^2 \right ]$$
$$=\frac{1}{4n}\left [\frac{4n(n+1)(2n+1)}{6} -n(n+1)^2 \right ]=\frac{n^2-1}{12}$$

Ta sẽ không thể thực hiện thêm bước nào nữa nếu bảng số liệu của ta gồm $n$ số bằng nhau, hoặc chỉ gồm hai giá trị $\left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor, \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor+1$. Khi đó, phương sai lớn nhất có thể là:
$$\sigma _{m}^2 = \frac{n.\left ( \frac{1}{2} \right )^2}{n} = \frac{1}{4}$$

Sau mỗi bước, phương sai sẽ giảm đi. Sau $m$ bước, phương sai sẽ giảm từ $\frac{n^2-1}{12}$ về không vượt quá $\frac{1}{4}$. Ta cần tìm ra cách để sau mỗi bước, lượng phương sai giảm đi là ít nhất. Khi đó, ta phải thực hiện nhiều bước nhất.

Gọi $a$ và $b$ là hai thẻ bị đổi ở một bước nào đó, $a-b \geq 2$. Độ chênh lệch phương sai trước và sau khi thực hiện bước này là:
$$\Delta\sigma = \frac{a^2+b^2}{n} - \frac{(a-1)^2+(b+1)^2}{n} = \frac{2(a-b)-2}{n} \geq \frac{2}{n}$$
Dấu "$=$" xảy ra khi $a-b=2$
Vậy $m$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn:
$$\frac{n^2-1}{12}-\frac{2m}{n}\leq \frac{1}{4}\Leftrightarrow m \geq \frac{n(n^2-4)}{24}$$


Với $n=20$ ta có: $m=330$

Read more »