Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Lạng Sơn năm học 2011 - 2012

Câu 1. (4 điểm). Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x^3+x^2(2-y)+x-y(2x+1)=0\\2x^2+3xy-5=0 \end{matrix}\right.$$

Câu 2. (4 điểm). Giải phương trình:

$$\cos 2x - 3\sin 2x + 5\sqrt2 \sin \left ( x+\frac{9\pi}{4} \right ) = 3$$

Câu 3. (4 điểm)
Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix}u_1=&2012 \\ u_{n+1}=&2012u_{n}^{2}+u_n,\forall n \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$$
Tìm $\lim\left ( \frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+...+\frac{u_n}{u_{n+1}} \right )$

Câu 4. (4 điểm)
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $P, Q$ lần lượt là hai điểm trên cạnh $AB, AD$ sao cho $AP=\frac{2}{3}AB;AQ=\frac{3}{4}AD$. Gọi $I,J$ lần lượt là hai điểm thuộc đoạn $B'Q;A'P$ sao cho $IJ//AC$. Hãy xác định tỉ số $\frac{IB'}{QB'}$.

Câu 5. (4 điểm)
Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$S = \frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^2}{(bc+2)(2bc+1)}+ \frac{c^2}{(ca+2)(2ca+1)}$$

--------Hết-------

Mời các bạn cùng thảo luận về đề thi này tại http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=70088