Bài toán.
Trong các tam giác có cùng chu vi, tam giác nào có diện tích lớn nhất?
Giải
Giả sử tam giác $ABC$ có ba cạnh $a,b,c$ sao cho chu vi $a+b+c=P$, $P$ không đổi. Gọi $S$ là diện tích tam giác. Khi đó, áp dụng BĐT AM-GM cho $4$ số ta có:
$$\begin{align*} \sqrt{\frac{S}{\sqrt 3}} & = \sqrt[4]{\frac{a+b+c}{6}.\frac{a+b-c}{2}.\frac{a-b+c}{2}.\frac{-a+b+c}{2}} \\ & \leq \frac{a+b+c}{6} \\ & = \frac{P}{6}\end{align*}$$
Vậy:
$$\max S =\frac{P^2\sqrt 3}{36}$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
