Bài toán.
Trong các tam giác có cùng chu vi, tam giác nào có diện tích lớn nhất?
Giải
Giả sử tam giác ABC có ba cạnh a,b,c sao cho chu vi a+b+c=P, P không đổi. Gọi S là diện tích tam giác. Khi đó, áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số ta có:
\begin{align*} \sqrt{\frac{S}{\sqrt 3}} & = \sqrt[4]{\frac{a+b+c}{6}.\frac{a+b-c}{2}.\frac{a-b+c}{2}.\frac{-a+b+c}{2}} \\ & \leq \frac{a+b+c}{6} \\ & = \frac{P}{6}\end{align*}
Vậy:
\max S =\frac{P^2\sqrt 3}{36}
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
