Đố vui 35 - Ba chữ số 9

Bài toán
Với 3 chữ số $9$, hãy viết thành số lớn nhất.

Số đầu tiên mà bạn thường nghĩ ngay tới là $999$. Nhưng:

$$999 < 1000 < 10^9 < 99^9$$

Ta sẽ so sánh các số sau:

$$9^{99};99^9;(9^9)^9; 9^{9^9}$$

Muốn vậy, ta chứng minh bổ đề:

Bổ đề: Với mọi số tự nhiên $n$, gọi $s(n)$ là số các chữ số của $n$ ta có

$$s(n) =[\log n]+1$$ . 

Trong đó kí hiệu $[x]$ là phần nguyên của số thực $x$.

Chứng minh.

Mọi số tự nhiên $n$ đều có thể viết dưới dạng:

$$n = r \times 10^m, \text{  (1)}$$

Trong đó số thực $r \in [1;9]$. Khi đó, $s(n)=m+1$. Chẳng hạn:

$$n = 1234567890$$  

có 10 chữ số. Ta có thể viết thành:

$$n = 1.23456789 \times 10^9$$

Lấy logarit thập phân cả hai vế của đẳng thức $(1)$ ta được:

$$\log n = \log r + m$$

Chú ý rằng $\log r \in [0;1)$. Ta có

$$[\log n]+1 = [\log r + m] + 1 = m+1=s(n)$$

Ta có điều phải chứng minh.

Áp dụng bổ đề, ta có:

$$s\left ( 9^{99} \right ) = [99\log 9]+ 1 = 95$$

$$s\left ( 99^{9} \right ) = [9\log 99]+ 1 = 18$$

$$s\left ( (9^9)^9 \right ) = [9^2\log 9]+ 1 = 78$$

$$s\left ( 9^{9^9} \right ) = [9^9\log 9]+ 1 = 369693100$$

Như vậy số lớn nhất là $9^{9^9}$. Số này có gần $370$ triệu chữ số.