Processing math: 100%

Đố vui 35 - Ba chữ số 9

Thứ Sáu, 31 tháng 1, 2014

Bài toán
Với 3 chữ số 9, hãy viết thành số lớn nhất.


Số đầu tiên mà bạn thường nghĩ ngay tới là 999. Nhưng:
999 < 1000 < 10^9 < 99^9
Ta sẽ so sánh các số sau:
9^{99};99^9;(9^9)^9; 9^{9^9}
Muốn vậy, ta chứng minh bổ đề:

Bổ đề: Với mọi số tự nhiên n, gọi s(n) là số các chữ số của n ta có
s(n) =[\log n]+1
Trong đó kí hiệu [x] là phần nguyên của số thực x.
Chứng minh.
Mọi số tự nhiên n đều có thể viết dưới dạng:
n = r \times 10^m, \text{  (1)}
Trong đó số thực r \in [1;9]. Khi đó, s(n)=m+1. Chẳng hạn:
n = 1234567890 
có 10 chữ số. Ta có thể viết thành:
n = 1.23456789 \times 10^9
Lấy logarit thập phân cả hai vế của đẳng thức (1) ta được:
\log n = \log r + m
Chú ý rằng \log r \in [0;1). Ta có
[\log n]+1 = [\log r + m] + 1 = m+1=s(n)
Ta có điều phải chứng minh.

Áp dụng bổ đề, ta có:
s\left ( 9^{99} \right ) = [99\log 9]+ 1 = 95
s\left ( 99^{9} \right ) = [9\log 99]+ 1 = 18
s\left ( (9^9)^9 \right ) = [9^2\log 9]+ 1 = 78
s\left ( 9^{9^9} \right ) = [9^9\log 9]+ 1 = 369693100
Như vậy số lớn nhất là 9^{9^9}. Số này có gần 370 triệu chữ số.


0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.