Bài toán
Với 3 chữ số $9$, hãy viết thành số lớn nhất.
Với 3 chữ số $9$, hãy viết thành số lớn nhất.
Số đầu tiên mà bạn thường nghĩ ngay tới là $999$. Nhưng:
$$999 < 1000 < 10^9 < 99^9$$
Ta sẽ so sánh các số sau:
$$9^{99};99^9;(9^9)^9; 9^{9^9}$$
Muốn vậy, ta chứng minh bổ đề:
Bổ đề: Với mọi số tự nhiên $n$, gọi $s(n)$ là số các chữ số của $n$ ta có
$$s(n) =[\log n]+1$$.
Trong đó kí hiệu $[x]$ là phần nguyên của số thực $x$.
Chứng minh.
Mọi số tự nhiên $n$ đều có thể viết dưới dạng:
$$n = r \times 10^m, \text{ (1)}$$
Trong đó số thực $r \in [1;9]$. Khi đó, $s(n)=m+1$. Chẳng hạn:
$$n = 1234567890$$
có 10 chữ số. Ta có thể viết thành:
$$n = 1.23456789 \times 10^9$$
Lấy logarit thập phân cả hai vế của đẳng thức $(1)$ ta được:
$$\log n = \log r + m$$
Chú ý rằng $\log r \in [0;1)$. Ta có
$$[\log n]+1 = [\log r + m] + 1 = m+1=s(n)$$
Ta có điều phải chứng minh.
Áp dụng bổ đề, ta có:
$$s\left ( 9^{99} \right ) = [99\log 9]+ 1 = 95$$
$$s\left ( 99^{9} \right ) = [9\log 99]+ 1 = 18$$
$$s\left ( (9^9)^9 \right ) = [9^2\log 9]+ 1 = 78$$
$$s\left ( 9^{9^9} \right ) = [9^9\log 9]+ 1 = 369693100$$
Như vậy số lớn nhất là $9^{9^9}$. Số này có gần $370$ triệu chữ số.
0 comments:
Đăng nhận xét