Phương pháp sai phân từng phần (Hoàng Xuân Thanh)

$$\fbox{Phương pháp tính tổng SAI PHÂN TỪNG PHẦN}$$

Dùng sai phân để tính tổng, chắc hẳn các bạn cũng từng được nghe nói, thậm chí là quá quen thuộc với phương pháp này trong những bài toán tính tổng. Có một điều thú vị, mà ít ai để ý tới đó là ta có thể dùng phương pháp này để tách từng phần (nghe như tích phân từng phần vậy!) tổng cần tính thành một tổng đơn giản hơn:

Đi luôn vào vấn đề:

$$\sum\limits_{k=a}^b g(k).\Delta f(k)= g(k)f(k)\left|{}_{k=a}^{{}^{b+1}}\right.- \sum\limits_{k=a}^b f(k+1).\Delta g(k),\,\,\, (14)$$

trong đó: 
$$\Delta f(k)=f(k+1)-f(k);\Delta g(k)=g(k+1)-g(k)$$

Chứng minh:

Đặt $h(k)=g(k).f(k)$, ta có

$\begin{eqnarray}\Delta h(k)&=& g(k+1).f(k+1)-g(k).f(k)\\ &=& g(k+1).f(k+1)-g(k).f(k+1)+g(k).f(k+1)-g(k)f(k)\\ &=& f(k+1)\Delta g(k)+ g(k)\Delta f(k)\end{eqnarray}$

Suy ra: $g(k)\Delta f(k)=\Delta h(k) - f(k+1)\Delta g(k)$

Lấy tổng hai vế từ $a$ đến $b$, ta có điều phải chứng minh.

Áp dụng $(14)$

$\fbox{Ví dụ 8:}$

Tính $S=\sum\limits_{k=0}^{2012} (k.2^k)$

Lời giải:

Ta có $\begin{cases}&\Delta (2^k)=2^{k+1}-2^k=2^k \\ &\Delta (k)=k+1-k=1\end{cases}$

Áp dụng công thức tổng sai phân từng phần ta có:

$\begin{eqnarray}S&=&\sum\limits_{k=0}^{2012} (k.2^k)\\ &=& k.2^k\left|{}_{k=0}^{{}^{2013}}\right. -\sum\limits_{k=0}^{2012} 2^{k+1} \\ &=& 2013.2^{2013}-(2^{2014}-2)\\ &=&2011.2^{2013}+2\end{eqnarray} $

(Các bạn có thấy nó giống tích phân từng phần không? )

Một số sai phân đáng chú ý!

$\Delta (c^k) = (c-1)c^k$

$\Delta k(k-1) = 2k$

$\Delta k(k-1)(k-2) = 3k(k-1)$

...

Nếu đặt

$k(k-1)...(k-m+1)=k^{\underline m}$ thì ta chứng minh được:

$\Delta (k^{\underline m})=m k^{\underline {m-1}}$ (Nhìn cho nó giống đạo hàm! )

Tương tự:

$\Delta (\frac{1}{(k+1)(k+2)})=-\frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}$

...

Và nếu đặt: $k^{\underline{ -m}}=\frac{1}{(k+1)(k+2)...(k+m)}$

thì ta cũng có:

$\Delta (k^{\underline{ -m}})= -m k^{\underline {-m-1}}$

Tóm lại là:

$\Delta (k^{\underline m})= m k^{\underline {m-1}}$

$\fbox{Ví dụ 9}$

Tính $S=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{(k+1)(k+3)}$

Lời giải:

Đặt $f(k)=\frac{1}{(k+1)(k+2)}$, ta có:

$\Delta f(k)=\frac{1}{(k+2)(k+3)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{-2}{(k+1)(k+2)(k+3)}$

Đặt $g(k)=\frac{-(k+2)}{2}$ suy ra $\Delta g(k)=\frac{-1}{2}$

Theo công thức SAI PHÂN TỪNG PHẦN TA CÓ:

$\begin{align}S&=\sum\limits_{k=1}^n \left(-\frac{k+2}{2}\right)\left(\frac{-2}{(k+1)(k+2)(k+3)}\right) \\ &= -\frac{k+2}{2}.\frac{1}{(k+1)(k+2)}\left|\begin{matrix}{}^{n+1} \\ {}_{k=1}\end{matrix}\right.-\sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{1}{(k+2)(k+3)}\right)\left(\frac{-1}{2}\right) \\ &= -\frac{1}{2(n+2)}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right) \\ &= \frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+2)}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2(n+3)} \\ &= \frac{n(5n+13)}{12(n+2)(n+3)}\end{align}$