Bài toán:
Chứng minh rằng tập hợp $\mathbb{A}$ các số đại số lập thành một không gian vectơ trên trường $\mathbb{Q}$.
Giải:
Ta chỉ cần chứng minh rằng tập hợp $\mathbb{A}$ là một không gian con của không gian vectơ $\mathbb{C}$ trên trường $\mathbb{Q}$. Muốn vậy, ta chứng minh rằng $\mathbb{A}$ đóng kín với phép cộng và phép nhân vô hướng.
Giả sử $\alpha, \beta$ là các số đại số bất kì. Khi đó, tồn tại hai đa thức $f(x), g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ lần lượt nhận $\alpha,\beta$. Giả sử $\deg f(x) = m \geq 1, \deg g(x) = n \geq 1 $.
Xét:
$$\mathbb{B} = \left \{ \sum q_{ij}\alpha ^i \beta ^j, \quad q_{ij} \in \mathbb{Q} \right \} \subset \mathbb{C} $$
Bổ đề:
Mọi phần tử $\alpha ^k$ với $k\geq m$ đều là tổ hợp tuyến tính của:
$$1, \alpha, ..., \alpha^{m-1}$$
Chứng minh bổ đề bằng quy nạp.
Thật vậy, với $k=m$, nếu:
$$f(x) = a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + ... + a_0, \quad a_m \neq 0$$
Thì
$$\alpha ^m = -\frac{a_{m-1}}{a_m}.\alpha ^{m-1} - ... -\frac{a_0}{a_m}.1$$
Giả sử:
$$\alpha^k = b_{m-1}.\alpha^{m-1}+...+b_0.1$$
Khi đó:
$$\begin{align*}\alpha^{k+1} &= \alpha.\left(b_{m-1} \alpha^{m-1}+...+b_0.1 \right) \\
&= b_{m-1}\alpha^m + \left( b_{m-2}\alpha^{m-1}+...+b_0.\alpha \right)\\
&= b_{m-1} \left(-\frac{a_{m-1}}{a_m}.\alpha ^{m-1} - ... -\frac{a_0}{a_m}.1\right)+ \left( b_{m-2}\alpha^{m-1}+...+b_0.\alpha \right) \\ &=c_{m-1}\alpha^{m-1}+...+c_0.1\end{align*}$$
Do đó, mọi phần tử của $\mathbb{B}$ đều là tổ hợp tuyến tính của $m.n$ phần tử của các phần tử dạng
$$\alpha ^i \beta ^j;\quad i=0,1,...,m; \quad j=0,1,...,n$$
Suy ra: $\dim \mathbb{B} \leq mn$
Các phần tử:
$$1=(\alpha + \beta)^0, (\alpha + \beta), ..., (\alpha + \beta)^{m.n}$$phải phụ thuộc tuyến tính. Tức là tồn tại các số $d_i, i=0,1,...,mn$ sao cho:
$$d_0.1 + d_1.(\alpha+\beta) +...+ d_{mn}(\alpha + \beta)^{m.n} = 0$$Vậy tồn tại đa thức:
$$h(x) = d_0 + ... +d_{mn}x^{mn}\in \mathbb{Q}[x]$$
nhận $\alpha+\beta$ làm nghiệm.
Do đó $\alpha+\beta \in \mathbb{A}$, hay $\mathbb{A}$ đóng kín với phép cộng.
Tương tự:
$$r\alpha \in \mathbb{A}, \forall \alpha \in \mathbb{A}, \forall r \in \mathbb{Q}$$
Vậy $\mathbb{A}$ là một không gian vectơ con của $\mathbb{C}$ trên trường $\mathbb{Q}$.
Chứng minh rằng tập hợp $\mathbb{A}$ các số đại số lập thành một không gian vectơ trên trường $\mathbb{Q}$.
Giải:
Ta chỉ cần chứng minh rằng tập hợp $\mathbb{A}$ là một không gian con của không gian vectơ $\mathbb{C}$ trên trường $\mathbb{Q}$. Muốn vậy, ta chứng minh rằng $\mathbb{A}$ đóng kín với phép cộng và phép nhân vô hướng.
Giả sử $\alpha, \beta$ là các số đại số bất kì. Khi đó, tồn tại hai đa thức $f(x), g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ lần lượt nhận $\alpha,\beta$. Giả sử $\deg f(x) = m \geq 1, \deg g(x) = n \geq 1 $.
Xét:
$$\mathbb{B} = \left \{ \sum q_{ij}\alpha ^i \beta ^j, \quad q_{ij} \in \mathbb{Q} \right \} \subset \mathbb{C} $$
Bổ đề:
Mọi phần tử $\alpha ^k$ với $k\geq m$ đều là tổ hợp tuyến tính của:
$$1, \alpha, ..., \alpha^{m-1}$$
Chứng minh bổ đề bằng quy nạp.
Thật vậy, với $k=m$, nếu:
$$f(x) = a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + ... + a_0, \quad a_m \neq 0$$
Thì
$$\alpha ^m = -\frac{a_{m-1}}{a_m}.\alpha ^{m-1} - ... -\frac{a_0}{a_m}.1$$
Giả sử:
$$\alpha^k = b_{m-1}.\alpha^{m-1}+...+b_0.1$$
Khi đó:
$$\begin{align*}\alpha^{k+1} &= \alpha.\left(b_{m-1} \alpha^{m-1}+...+b_0.1 \right) \\
&= b_{m-1}\alpha^m + \left( b_{m-2}\alpha^{m-1}+...+b_0.\alpha \right)\\
&= b_{m-1} \left(-\frac{a_{m-1}}{a_m}.\alpha ^{m-1} - ... -\frac{a_0}{a_m}.1\right)+ \left( b_{m-2}\alpha^{m-1}+...+b_0.\alpha \right) \\ &=c_{m-1}\alpha^{m-1}+...+c_0.1\end{align*}$$
Bổ đề được chứng minh xong.
Tương tự, mọi phần tử $\beta ^p$ với $p\geq n$ đều là tổ hợp tuyến tính của:
$$1, \beta, ..., \beta^{n-1}$$ Do đó, mọi phần tử của $\mathbb{B}$ đều là tổ hợp tuyến tính của $m.n$ phần tử của các phần tử dạng
$$\alpha ^i \beta ^j;\quad i=0,1,...,m; \quad j=0,1,...,n$$
Suy ra: $\dim \mathbb{B} \leq mn$
Các phần tử:
$$1=(\alpha + \beta)^0, (\alpha + \beta), ..., (\alpha + \beta)^{m.n}$$phải phụ thuộc tuyến tính. Tức là tồn tại các số $d_i, i=0,1,...,mn$ sao cho:
$$d_0.1 + d_1.(\alpha+\beta) +...+ d_{mn}(\alpha + \beta)^{m.n} = 0$$Vậy tồn tại đa thức:
$$h(x) = d_0 + ... +d_{mn}x^{mn}\in \mathbb{Q}[x]$$
nhận $\alpha+\beta$ làm nghiệm.
Do đó $\alpha+\beta \in \mathbb{A}$, hay $\mathbb{A}$ đóng kín với phép cộng.
Tương tự:
$$r\alpha \in \mathbb{A}, \forall \alpha \in \mathbb{A}, \forall r \in \mathbb{Q}$$
Vậy $\mathbb{A}$ là một không gian vectơ con của $\mathbb{C}$ trên trường $\mathbb{Q}$.
