Pha chế nước giải khát (Đề thi dự bị môn toán 2015)

Bài toán:

Trong một cuộc thi pha chế mỗi đội chơi được dùng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu, pha chế 1 lít nước táo cần 20g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, Mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất.

Giải

Gọi $x,y$ lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo cần pha chế. Ta cần tìm gá trị lớn nhất của biểu thức 

$$P=60x+80y$$

Biết rằng:

$$(D): \begin{cases}x,y>0 \\ 0 < 30x+ 10y \leq 210 \\ 0 < x + y \leq 9 \\0 < x + 4y \leq 24 \end{cases}$$

Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính (học ở lớp 10)

Vẽ miền đa giác $(D)$.

Cần xác định đường thẳng $\Delta: 60x + 80y - P$, (đường thẳng này song song với đường thẳng $(d): 60x+80y=0$), sao cho $(\Delta)$ đi qua 1 điểm thuộc $(D)$ và Giao của $(\Delta)$ với $Oy$ có tung độ lớn nhất.

Dễ thấy $(\Delta ): y= -\frac{3}{4}x+8$ đi qua điểm $(4;5) \in (D)$ là đường cần tìm.

Vậy cần pha chế 4 lít nước cam và 6 lít nước táo

Read more »

$\begin{cases}xy+2=y\sqrt{x^2+2} \\ y^2+2(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=2x^2-4x\end{cases}$

Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases}xy+2=y\sqrt{x^2+2} \\ y^2+2(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=2x^2-4x\end{cases}$$

Giải
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
$$y \left( \sqrt{x^2+2} -x \right) = 2 \Leftrightarrow y = \sqrt{x^2+2} + x$$
Từ đó suy ra:
$$y^2 = 2x^2 + 2x\sqrt{x^2+2} + 2$$
Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
$$x\sqrt{x^2+2}+x = -(x+1)\sqrt{(x+1)^2+2}-(x+1) \quad \quad (1)$$
Xét hàm số
$$f(t) =t\sqrt{t^2+2}+t$$
Dễ thấy hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó:
$$(1) \Leftrightarrow f(x) = f(-x-1) \Leftrightarrow x =- \frac{1}{2}$$


Vậy $\left(-\frac{1}{2};1\right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình

Read more »

$\begin{cases} 4 + 9.3^{x^2 - 2y} = (4 + 9^{x^2 - 2y} ).7^{2y - x^2 + 2} \\ 4^x + 4 = 4x + 4\sqrt {2y - 2x + 4} \end{cases}$

Giải hệ phương trình sau :  

$$ \begin{cases} 4 + 9.3^{x^2 - 2y} = (4 + 9^{x^2 - 2y} ).7^{2y - x^2 + 2} \\ 4^x + 4 = 4x + 4\sqrt {2y - 2x + 4} \end{cases} $$      

Giải  

ĐK : $y - x + 2 \ge 0$.

Đặt $t = x^2  - 2y$, khi đó 

$$\begin{align*} (1) & \Leftrightarrow 4 + 3^{t + 2}  = (4 + 9^t ).7^{2 - t} \\ & \Leftrightarrow \frac{{4 + 3^{t + 2} }}{{7^{t + 2} }} = \frac{{4 + 3^{2t} }}{{7^{2t} }} \\& \Leftrightarrow f(t + 2) = f(2t) \end{align*}$$

trong đó 

$$f(t) = \frac{{4 + 3^t }}{{7^t }} = 4\left( {\frac{1}{7}} \right)^t  + \left( {\frac{3}{7}} \right)^t $$

Dễ thấy $f(t)$ làm hàm số nghịch biến. Do đó 

$$f(t + 2) = f(2t) \Leftrightarrow t + 2 = 2t \Leftrightarrow t = 2$$

hay $x^2  - 2y = 2$.

Thay vào (2) ta được

$$4^x + 4 = 4x + 4\sqrt {x^2 - 2 - 2x + 4} \Leftrightarrow 4^{x - 1} = x - 1 + \sqrt {(x - 1)^2 + 1} $$

Đặt $u=x-1$, ta có:

$$\begin{cases}4^u=u+\sqrt{u^1+1} \\4^{_u}=u-\sqrt{u^1+1}\end{cases}$$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta có:

$$4^u+4^{-u}=2u \quad (3)$$

Xét hàm số 

$$g(u)=4^u+4^{-u}-2u$$

Dễ thấy hàm số $g(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó $u = 0$ là nghiệm duy nhất của $g(u)=0$, dẫn đến (3) có nghiệm duy nhất 

$x = 1$.

Từ đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)$.

Read more »

$\log_3(x^2+2x+1) = \log_2(x^2+2x)$

Giải phương trình:
$$\log_3(x^2+2x+1) = \log_2(x^2+2x)$$

Giải

ĐK: $x^{2}+2x>0$

Đặt: 

$$log_{3}(x^{2}+2x+1)=log_{2}(x^{2}+2x)=t$$

Khi đó: 

$$\begin{cases}x^{2}+2x+1=3^{t} \\ x^{2}+2x=2^{t}\end{cases}$$

Từ đó: 
$$3^{t}-2^{t}=1\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{3} \right )^{t}+\left ( \frac{2}{3} \right )^{t}=1\Rightarrow t=1$$

Từ đó tìm được $x$

Read more »

$\left\{\begin{matrix} \left ( 2y-3 \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2x=0 & \\ \left ( 2x-1 \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2y=0& \end{matrix}\right.$

Bài toán 1

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \left ( 2y-3 \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2x=0 & \\ \left ( 2x-1 \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2y=0& \end{matrix}\right.$$

Giải

Đặt $z = x+iy$ với $i$ là đơn vị ảo. Ta có:

$$|z| = x^2+y^2, \overline{z} = x-iy, i\overline{z} = y + ix$$

Nhân cả hai về của phương trình thứ nhất với $i$ rồi cộng vào phương trình thứ hai, ta có:

$$(x^2+y^2)[2x+2yi-(1+3i)]+2(y+xi) = 0 $$

$$\Leftrightarrow  |z|^2[2z-(1+3i)]+2i\overline{z }=0,  \text{    (1)}$$

*TH1: $z=0$ là một nghiệm của phương trình $(1)$ hay $(0;0)$ là một nghiệm của hệ đã cho.

*TH2: $z\neq 0$, chia chả hai vế của $(1)$ cho $\overline{z }$, ta có:

$$2z^2-(3+i)z+2i=0$$

Đây là phương trình bậc hai đối với ẩn $z$. Ta có:

$$\Delta = (1+3i)^2 - 16i = -8 -10i =\left ( \sqrt{\sqrt{41}-4}-i\sqrt{\sqrt{41}+4} \right )^2$$

$$z_1=\frac{1+\sqrt{\sqrt{41}-4}+\left ( 3-\sqrt{\sqrt{41}+4} \right )i}{4}$$

$$\Rightarrow x = \frac{1+\sqrt{\sqrt{41}-4}}{4}; y = \frac{3-\sqrt{\sqrt{41}+4}}{4} $$

$$z_2=\frac{1-\sqrt{\sqrt{41}-4}+\left (3+\sqrt{\sqrt{41}+4} \right )i}{4}$$

$$\Rightarrow x = \frac{1-\sqrt{\sqrt{41}-4}}{4}; y = \frac{3+\sqrt{\sqrt{41}+4}}{4} $$

Thử lại, ta thấy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm:

$$(0;0), \left (  \frac{1+\sqrt{\sqrt{41}-4}}{4}; \frac{3-\sqrt{\sqrt{41}+4}}{4} \right ),$$
$$ \left (  \frac{1-\sqrt{\sqrt{41}-4}}{4}; \frac{3+\sqrt{\sqrt{41}+4}}{4} \right )$$

Bài toán 2:

Giải hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l} y + \frac{{y + 3x}}{{x^2  + y^2 }} = 3,\left( 1 \right) \\ x = \frac{{x - 3y}}{{x^2  + y^2 }},\left( 2 \right)  \end{array} \right.\]

Giải
ĐKXĐ: $x^2+y^2>0$. Gọi $i$ là đơn vị ảo và $z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi \Rightarrow i\overline z  = y + xi$

Lấy (1) nhân $i$ rồi cộng với (2), ta được:\[
\begin{array}{rcl}
 x + yi + \frac{{3\left( {y + xi} \right) - \left( {x - yi} \right)}}{{x^2  + y^2 }} &=& 3i \\
  \Leftrightarrow z + \frac{{3i\overline z  - \overline z }}{{\left| z \right|^2 }} &=& 3i \\
  \Leftrightarrow z + \frac{{3i - 1}}{z} &=& 3i \\
  \Leftrightarrow z^2  - 3iz + 3i - 1 &=& 0 \\
 \end{array}
\]

Xét
$$\Delta  = \left( { - 3i} \right)^2  - 4\left( {3i - 1} \right) = \left( {3i - 2} \right)^2  $$

$$ z_1  = \frac{{3i + 3i - 2}}{2} =  - 1 + 3i \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( { - 1;3} \right)$$
$$ z_2  = \frac{{3i - \left( {3i - 2} \right)}}{2} = 1 + 0i \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right)$$

2 nghiệm trên đều thỏa hệ ban đầu nên đó là tất cả nghiệm cần tìm.

Read more »

Bài tập

Lâu lâu lại tự kiếm bài tập để làm ...

Câu 1
Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình:
$$(m-3)9^x+2(m+1)3^x+m-1=0, \text{   (1)}$$
Giải
Đặt $3^x=t > 1$, ta có phương trình:
$$(m-3)t^2+2(m+1)t+m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{3t^2-2t+1}{(t+1)^2}$$
Xét hàm số $f(t) = \frac{3t^2-2t+1}{(t+1)^2}$, ta có:
$$f'(t) = \frac{8t-4}{(t+1)^3}; f'(t) = 0\Leftrightarrow t= \frac{1}{2} $$
Lập bảng biến thiên của hàm số $f(t)$ trong $(0;+\infty)$. Từ bảng biến thiên ta có các trường hợp sau:
$*) m < \frac{1}{3}$ thì phương trình $(1)$ vô nghiệm
$*) m = \frac{1}{3}$ hoặc $1 \leq m < 3$ thì phương trình $(1)$ có đúng 1 nghiệm
$*) \frac{1}{3} < m < 1$ thì phương trình $(1)$ có đúng 2 nghiệm

$*) m > 3$ thì phương trình $(1)$ vô nghiệm.

Câu 2
 Cho $0 < x < \frac{\pi }{4}$. Chứng minh rằng:

$$\frac{cos x}{(cos x - sin x)sin^2x}> 8$$

Giải
Do $0 < x < \frac{\pi}{4} \Rightarrow \cos{x} > 0$ và $\tan{x} < 1$
Chia cả tử cả mẫu của vế trái cho $\cos^3{x}$, ta được:
$$\frac{\frac{1}{\cos^2{x}}}{\left ( 1 - \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\right )\tan^2{x}} > 8$$
$$\Leftrightarrow \frac{\tan^2{x} + 1}{(1 - \tan{x})\tan^2{x}} > 8 \Leftrightarrow 8\tan^3{x} + 1 > 7\tan^2{x}$$
Theo BĐT Cauchy, ta có: $8a^3 + 1 = 4a^3 + 4a^3 + 1 \geq 3\sqrt[3]{16}a^2 > 7a^2$
Vậy, ta có điều phải chứng minh.

Câu 3
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng $\frac{3}{2}$, biết $A(2;-3), B(3;-2)$ và trọng tâm tam giác nằm trên đường thẳng $\Delta: 3x-y-8=0$. Tìm tọa độ của $C$.
Giải
Giả sử $C(u;v)$. Khi đó trọng tâm của tam giác $ABC$ là:
$$G\left ( \frac{u+5}{3};\frac{v-5}{3} \right )$$
Vì $G \in \Delta $ nên ta có:
$$3u-v-4=0, \text{   (3a)}$$
Ta có phương trình đường thẳng $AB: x - y - 5 = 0$.
$$d_{(C;AB)}=\frac{|u-v-5|}{\sqrt2}$$
Mà
$$d_{(C;AB)}=\frac{2S}{AB} = 3$$
Do đó ta có:
$$|u-v-5| = 3,\text{   (3b)}$$
Từ $(3a)$ và $(3b)$ ta có:
$$C_1(1;-1), C_2(-2;-10)$$

Câu 4
Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm:
$$x^2+m(x-1) = 6x\sqrt{x-1},\text{    (4)}$$
Giải
ĐK: $x \geq 1$
Dễ thấy $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình $(4)$. Chia cả hai vế của $(4)$ cho $x-1$, và đặt $t = \frac{x}{\sqrt{x-1}} \geq 2$, ta có:
$$m = 6t-t^2$$
Vì tập giá trị của hàm số $f(t) = 6t-t^2, \forall t \in (2;+\infty)$ là $(-\infty; 9)$ nên phương trình $(4)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m \leq 9$.

Câu 5
Cho hai số $x,y$ thỏa mãn:
$$\left\{\begin{matrix} 2y \geq x^2\\y \leq -2x^2+3x \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng $x^2+y^2 \leq 2$

Giải
Từ giả thiết ta có:
$$\frac{x^2}{2} \leq y \leq -2x^2+3x \Rightarrow x^2+y^2 \leq 2$$
Dễ dàng suy ra: $0 \leq x \leq \frac{6}{5}$
Ta có
$$x^2+y^2 \leq x^2 + (-2x^2+3x)^2 = 4x^4-12x^3+10x^2 = f(x)$$
Ta sẽ đi tìm GTLN của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\left [ 0;\frac{6}{5} \right ]$
$$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1, x = 0, x = \frac{5}{4} $$
$$f(0) = 0; f(1) = 2; f\left ( \frac{6}{5} \right )=\frac{1224}{625}$$
Vậy
$$x^2+y^2 \leq \max_{\left [ 0;\frac{6}{5} \right ]}f(x) = f(1)=2$$
Dấu " $=$ "; xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$

Câu 6
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho $C(2;-5)$ và đường thẳng $\Delta: 3x-4y+4=0$. Tìm trên $\Delta$ hai điểm $A,B$ đối xứng với nhau qua $I\left ( 2;\frac{5}{2} \right )$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $15$.
Giải

Ta có:

$$AB=\frac{2S}{d_{(C;\Delta)}}=5$$

Giả sử $A(4a;3a+1) \in \Delta$. Khi đó:

$$IA=\frac{5}{2}\Leftrightarrow a=1$$

Vậy $A(4;4), B(0;1)$

Read more »

Ứng dụng của hệ đối xứng loại II

1. Định nghĩa

Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ phương trình hai ẩn mà khi thay đổi vai trò của $x$ và $y$cho nhau thì phương trình này của hệ biến thành phương trình kia và ngược lại.

2. Cách giải

Để giải hệ phương trình đối xứng loại II, ta trừ từng vế hai phương trình của hệ và đặt thừa số cchung, quy về phương trình tích.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

$$(1) \left\{\begin{matrix}2x=y^2-4y+5\\ 2y=x^2-4x+5\end{matrix}\right.$$

Giải

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

$$2(x-y)=y^2-x^2-4(y-x)=0$$

$$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-2)=0\Leftrightarrow x=y; y=2-x $$

TH1: $x=y$, Phương trình đầu của $(1)$ tương đương với:

$$x^2-6x+5=0 \Leftrightarrow x \in \{1;5 \}$$

TH2: $y=2-x$, Phương trình đầu của $(1)$ tương đương với:

$$x^2-2x+1=0 \Leftrightarrow x=1$$

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:

$$(1;1), (5;5)$$

3. Ứng dụng

Hệ đối xứng loại II có thể được sử dụng để giải một số phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ 2. Giải phương trình:

$$\sqrt{\sqrt{x}+2} + 2 =x$$

Giải

ĐK: $x \geq 0$

Đặt $y = \sqrt{x}+2$ ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix}x=\sqrt{y}+2\\y=\sqrt{x}+2 \end{matrix}\right.$$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được

$$(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+1)=0\Leftrightarrow x =y$$

Từ đó, ta có:

$$x - \sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4$$

4. Bài tập

Giải các phương trình sau: 

$1) \sqrt{\sqrt{x+5}+6}-x+1=0$

$2)(x^2+x-4)^2+x^2-8=0$

$3) x + 1 = (x^2+2x-1)^2 + 2(x^2+2x-1)$

$4) 2(2x^2-2x-5)^2-4x^2+3x+5=0$

$5)\sqrt{16-8x-3x^2}=x^2+3x-4$

$6) x+ 3(1-3x^2)^2=1$

$7) 2x^2-6x-1 = \sqrt{4x+5}$

Read more »

Ứng dụng của đẳng thức khai triển $x^4 + \alpha ^2$

Ta có đẳng thức sau:
$$x^4 + \alpha ^2 = (x^2+\sqrt{2\alpha}x+\alpha)(x^2-\sqrt{2\alpha}x+\alpha)$$

1) Ứng dụng trong giải phương trình:
Ví dụ 1. Giải phương trình:
$$7x^2-10x+14 = 5\sqrt{x^4+4} \text{    (1)}$$
Giải
Ta có:
$$x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$$
Ta cần tìm các số $a,b$ sao cho:
$$a(x^2-2x+2)+b(x^2+2x+2)=7x^2-10x+14$$
Dễ dàng tìm được $a = 6; b=1$. Đặt:
$$u=\sqrt{x^2-2x+2};v=\sqrt{x^2+2x+2}$$
Ta có:
$$(1) \Leftrightarrow 6u^2-5uv+v^2=0$$
$$\Leftrightarrow (v-2u)(v-3u) = 0$$
$$\Leftrightarrow v=2u; v=3u .$$
TH1: $v=2u$, ta có
$$x^2-6x+2 = 0\Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{7}$$
TH2: $v=3u$, ta có
$$x^2-4x+2 = 0\Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{2}$$

2) Ứng dụng khi tính tích phân

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm:

$$\int \frac{x^2+2}{x^4+4}dx$$
Giải
Dễ thấy:
$$\frac{x^2+2}{x^4+4} = \frac{1}{2}\left (\frac{1}{(x-1)^2+1}+\frac{1}{(x+1)^2+1} \right )$$
Bằng cách đặt $x\pm 1 = \tan t$, ta dễ dàng tính được tích phân đã cho.

3) Bài tập

3.1. Giải phương trình: $7x^2+5\sqrt{2}x+7=\sqrt{x^4+1}$

3.2. Tính tích phân: $\int_{0}^{1}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx$

Read more »

Hệ phương trình hoán vị vòng quanh

1) Định nghĩa:

Hệ phương trình hoán vị vòng quanh (3 ẩn) là hệ phương trình có dạng:

$$(1) \left\{\begin{matrix}f(x)=g(y)\\f(y)=g(z)\\f(z) =g(x) \end{matrix}\right. $$

2) Cách giải

Nếu các hàm số $f(t), g(t)$ cùng đồng biến thì ta có cách giải sau:

Giả sử $x \leq y \leq z$, vì hàm số $f(t)$ đồng biến nên ta có:

$$f(x) \leq f(y) \leq f(z)$$

Từ đó, kết hợp với $(1)$, ta có:

$$g(y) \leq g(z) \leq g(x)$$

Mà hàm số $g(t)$ đồng bến nên ta suy ra:

$$y \leq z \leq x$$

Do đó:

$$x=y=z$$

Thay vào một trong ba phương trình của hệ $(1)$ ta có phương trình một ẩn. Nhìn chung, phương trình thu được khá dễ.

Nếu các hàm số  $f(t), g(t)$ cùng nghịch biến thì ta có cách giải tương tự.

3) Ví dụ

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

$$(2) \left\{\begin{matrix}x^3-6=y \\y^3-6 =z\\z^3-6=x\end{matrix}\right. $$
Giải

Xét hàm số:
$$f(t) = t^3-6$$
Dễ thấy hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. Hệ $(2)$ trở thành:
$$(2.1) \left\{\begin{matrix}y=f(x) \\z=f(y)\\x=f(z)\end{matrix}\right. $$

Giả sử $x \leq y \leq z$, vì hàm số $f(t)$ đồng biến nên ta có:

$$f(x) \leq f(y) \leq f(z)$$

Từ đó, kết hợp với $(2.1)$, ta có:

$$y \leq z \leq x$$

Do đó:

$$x=y=z$$
Từ đó, ta có:
$$x^3-x-6=0 \Leftrightarrow (x-2)(x^2+2x+3)=0 \Leftrightarrow x=2$$
Vậy hệ $(2)$ có nghiệm duy nhất $(2;2;2)$

Nhưng không phải lúc nào ta cũng dễ dàng tìm ra hàm $f(t)$
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
$$(3) \left\{\begin{matrix}(x-1)^2=2y \\(y-1)^2=2z\\(z-1)^2=2x\end{matrix}\right. $$
Giải

Từ hệ phương trình ta có:
$$x \geq 0; y \geq 0; z \geq 0$$Do đó:

$$(3) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\sqrt{2y}+1 \\y=\sqrt{2z}+1\\z=\sqrt{2x}+1\end{matrix}\right.$$
Bằng cách giải tương tự ta thu được $x=y=z$. Thay vào một trong ba phương trình của $(3)$, ta có:
$$x^2-4x+1=0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{3}$$Vậy hệ $(3)$ có hai nghiệm:
$$(2+\sqrt{3};2+\sqrt{3};2+\sqrt{3}); (2-\sqrt{3};2-\sqrt{3};2-\sqrt{3})$$

Ta hãy xét một trường hợp có cả hai hàm $f,g$ như lý thuyết.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:
$$(4) \left\{\begin{matrix}x^3+x^2+2x-1=2y^3 \\y^3+y^2+2y-1=2z^3\\z^3+z^2+2z-1=2x^3\end{matrix}\right. $$
Giải
Xét hai hàm số:
$$f(t)=t^3+t^2+2t-1;g(t)=2t^3$$
Dễ thấy, hai hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. Hệ $(4)$ trở thành:
$$\left\{\begin{matrix}f(x)=g(y)\\f(y)=g(z)\\f(z) =g(x) \end{matrix}\right. $$
Bằng cách giải như mục 2, ta thu được: $x=y=z$
Thay vào phương trình đầu của $(4)$ ta được:
$$x^3-x^2-2x+1=0 \text{ (4.1)}$$
Xét hàm số $h(x) = x^3-x^2-2x+1=0$ liên tục trên $[-2;2]$ và:
$$h(-2) < 0; h(-1) > 0; h(0) > 0 ; h(1) < 0; h(2) > 0$$
Do đó, phương trình $(4.1)$ có ba nghiệm trong khoảng $(-2;2)$. Đặt $x =2\cos t, t \in (0;\pi)$, ta có $\sin t \neq 0$ và $(4.1)$ trở thành:
$$8\cos^3t-4\cos^2t-4\cos t+1=0$$
$$\Leftrightarrow \sin t(8\cos^3t-4\cos^2t-4\cos t+1)=0$$
$$\Leftrightarrow \sin 4t=\sin 3t$$
$$\Leftrightarrow t\in \left \{ \frac{\pi}{7}; \frac{3\pi}{7};\frac{5\pi}{7}\right \}$$
Vậy hệ $(4)$ có ba nghiệm:
$$(2\cos t;2\cos t;2\cos t), t\in \left \{ \frac{\pi}{7}; \frac{3\pi}{7};\frac{5\pi}{7}\right \}$$

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:
$$(5) \left\{\begin{matrix}2x^3-7x^2+8x-2=y\\2y^3-7y^2+8y-2=z\\2z^3-7z^2+8z-2=x\end{matrix}\right. $$
Nhận xét:
Nếu xét hàm số $f(t)=2t^3-7t^2+8t-2$ thì ta được hàm số không hoàn toàn đồng biến. Giá mà ta có thế thay số $8$ thành số $9$. Ta có cách giải sau:
Giải
Ta có:

$$(5) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x^3-7x^2+9x-2=y+x\\2y^3-7y^2+9y-2=z+y\\2z^3-7z^2+9z-2=x+z\end{matrix}\right. $$
Xét hàm số $f(t) = 2t^3-7t^2+9t-2$. Dễ thấy hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Giả sử $x \leq y \leq z$, vì hàm số $f(t)$ đồng biến nên ta có:
$$f(x) \leq f(y) \leq f(z)$$
Từ đó, ta có:
$$y+x \leq z+y \leq x+z$$
Do đó: $x=y$
Thay vào 2 phương trình đầu, ta có $x=y=z$
Từ đó:

$$2x^3-7x^2+7x-2=0\Leftrightarrow x \in \left \{ 2;1;\frac{1}{2}\right \}$$
Vậy hệ phương trình $(5)$ có nghiệm:
$$(1;1;1);(2;2;2);\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )$$
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình:
$$(6) \left\{\begin{matrix}x^3-9x^2+27x-27=0\\x^3-9x^2+27x-27=0\\x^3-9x^2+27x-27=0\end{matrix}\right. $$
Giải
Xét hàm số: $f(t) = \sqrt[3]{9x^2-27x+27}$. Dễ thấy hàm số đã cho có tập giá trị $G=\left [ \frac{3}{\sqrt[3]4};+\infty  \right )$. Do đó $x;y;z \in G$
Hàm số $f(t)$ đồng biến trong $\left ( \frac{3}{2};+\infty  \right )$ nên cũng đồng biến trên $G$.
Ta lại có lý luận và lời giải tương tự các ví dụ trên.

4) Bài tập
Giải các phương trình và hệ phương trình sau
$(4.1)\left\{\begin{matrix}2y^3+2x^2+3x+3=0\\2z^3+2y^2+3y+3=0\\2x^3+2z^2+3z+3=0\end{matrix}\right. $

$(4.2) \left\{\begin{matrix}2x(y^2+1)=y(y^2+9)\\2y(z^2+1)=z(z^2+9)\\2z(x^2+1)=x(x^2+9)\end{matrix}\right. $

$(4.2) \left\{\begin{matrix}x^2+x-y-1=0\\y^2+y-z-1=0\\z^2+z-x-1=0\end{matrix}\right. $

$(4.3)\left\{\begin{matrix}\frac{20y}{x^2}+11y=2013\\ \frac{20z}{y^2}+11z=2013\\ \frac{20x}{z^2}+11x=2013\end{matrix}\right.$

$(4.4)\left\{\begin{matrix}2x=\sqrt{3z-2}+z^3-2z^2+2\\ 2y=\sqrt{3x-2}+x^3-2x^2+2\\ 2z=\sqrt{3y-2}+y^3-2y^2+2\end{matrix}\right.$

$(4.5)\left\{\begin{matrix}2x^3+4x+4=(y+1)(y^2+2y+2)\\2y^3+4y+4=(z+1)(z^2+2z+2)\\ 2z^3+4z+4=(x+1)(x^2+2x+2)\end{matrix}\right.$

$(4.6) \text{     } 4x=\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{x+30}}}}$

$(4.7) \left\{\begin{matrix}5x=2y^2-4y+7\\5y=2z^2-4z+7 \\ 5z=2x^2-4x+7\end{matrix}\right.$

Read more »

Giải PT, HPT bằng lượng giác

1) Phương trình dạng: $ax^3-bx=c (ab>0), (1)$

Ta sẽ sử dụng công thức:$$\cos 3x = 4\cos^3x - 3\cos x$$
Đặt $x=\alpha \cos t$, ta có:
$$(1) \Leftrightarrow a\alpha^3\cos^3t - b\alpha x = c$$
Ta cần tìm $\alpha > 0$ để:
$$\frac{a\alpha^3}{b\alpha}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \alpha =\sqrt{\frac{4b}{3a}}$$
Ví dụ 1. Giải phương trình:
$$x^3-3x=1, \text{    (2)}$$
Dễ thấy mọi $x$ mà $|x| > 2$ đều không thỏa mãn phương trình.
Đặt $x=2\cos t$, phương trình $(2)$ trở thành:
$$8\cos^3t - 6\cos t = 1\Leftrightarrow 4\cos^3t-3\cos t = \frac{1}{2}$$
$$\Leftrightarrow \cos 3t = \frac{1}{2}\Leftrightarrow t = \pm \frac{\pi}{9}+ k\frac{2\pi}{3}, (k \in \mathbb{Z})$$
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm:
$$x_k=2\cos \left ( \frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3} \right ), k = 0,1,2$$

Ví dụ 2. Giải phương trình
$$x^3−x^2−2x+1=0, \text{    (3)}$$

Giải

Cách 1

Ta có:

$$(3) \Leftrightarrow \left ( x-\frac{1}{3} \right )^3-\frac{7}{3}\left ( x-\frac{1}{3} \right )=-\frac{7}{27}$$
Đặt $x-\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{7}}{3}\cos t$, ta được phương trình:
$$\cos 3t = - \frac{\sqrt{7}}{14}\Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{3}\arccos\left (- \frac{\sqrt{7}}{14} \right )+k\frac{2\pi}{3}$$
Từ đó, phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt:
$$x_k = \frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{7}}{3}\cos \left [ \frac{1}{3}\arccos \left (- \frac{\sqrt{7}}{14} \right ) + k\frac{2\pi}{3}\right ], k = 0,1,2$$

Cách 2: Xem ví dụ 3 ở đây

2) Một số phương trình lượng giác hóa khác:
Phương trình chứa $\sqrt{a^2-x^2}$, đặt $x = |a|\sin t, t \in \left [ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ]$ hoặc $x = |a|\cos t, t \in \left [ 0;\pi \right ]$ 

Phương trình chứa $\sqrt{x^2-a^2}$, đặt $x = \frac{|a|}{\sin t}, t \in \left [ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ]\setminus \{ 0 \} $ hoặc $x = \frac{|a|}{\cos t}, t \in \left [ 0;\pi \right ] \setminus  \left \{ \frac{\pi}{2} \right \}$

Phương trình chứa $\sqrt{a^2+x^2}$, đặt $x = |a|\tan t, t \in \left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right )$ hoặc $x = |a|\cot t, t \in \left ( 0;\pi \right )$ 

3) Hệ phương trình:

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:

$$(4) \left\{\begin{matrix}x=\frac{2y}{1-y^2}\\ y=\frac{2x}{1-x^2}\end{matrix}\right.$$

Giải

Cách 1: Đây là hệ phương trình đối xứng loại II

Cách 2: ĐK $x,y \neq \pm 1$. 

Đặt $x = \tan t, t \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$, ta có:

$$\left\{\begin{matrix}x=\tan t\\y=\tan 2t\\x = \tan 4t \end{matrix}\right.$$

Từ đó ta có:

$$\tan t = \tan 4t \Leftrightarrow t = k\frac{\pi}{3} (k \in \mathbb{Z})$$

Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm:

$$(0;0),(\sqrt{3};-\sqrt{3}),(-\sqrt{3};\sqrt{3})$$

4) Bài tập

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
$4.1) x^3 - 4x = 1$
$4.2) \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=2+\sqrt{1-x^2}$
$4.3) \sqrt{x^2+1} = \frac{5}{\sqrt{x^2+1}}+x$
$4.4) x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}=\frac{35}{12}$
$4.5) \left\{\begin{matrix}x=\frac{2y}{1-y^2}\\ y=\frac{2z}{1-z^2}\\z=\frac{2x}{1-x^2}\end{matrix}\right.$
$4.6) \left\{\begin{matrix}x=2y^2-1\\ y=2z^2-1\\z=2x^2-1\end{matrix}\right.$
$4.7) \left\{\begin{matrix}x=4y^3-3y\\ y=4z^3-3z\\z=4x^3-3x\end{matrix}\right.$

Read more »

Lớp PT $\alpha \sqrt[3]{ax+b}+\beta \sqrt{cx+d}=\gamma$

Bài toán: 
Giải phương trình: 
$$\alpha \sqrt[3]{ax+b}+\beta \sqrt{cx+d}=\gamma$$

Cách giải
Đặt $u= \sqrt[3]{ax+b}; v=\sqrt{cx+d}$, ta có:
$$\left\{\begin{matrix}\alpha u + \beta v = \gamma\\ cu^3-av^2=cb-ad\end{matrix}\right.$$
Hệ phương trình này có thể được giải bằng phương pháp thế.

Bài tập
Giải các phương trình sau
$1) 3\sqrt[3]{2x-1}-4\sqrt{5-x}+5=0$
$2) 3\sqrt[3]{2x+4}+2\sqrt{3x-2}=10$

Read more »

Ứng dụng đẳng thức $x^3+\alpha ^3$

Bài toán:
Giải phương trình $2x^2+4 = 5\sqrt{x^3+1}$

ĐK: $x \geq -1$
Đặt:
$$\left\{\begin{matrix}u=\sqrt{x+1}\\v=\sqrt{x^2-x+1} \end{matrix}\right.$$
Dễ thấy $x = -1$ không thỏa mãn phương trình đã cho. Do đó $uv \neq 0$
Ta có:
$$u^2+v^2=x^2+2$$
Từ đó phương trình đã cho có dạng:
$$2(u^2+v^2)=5uv$$
$$\Leftrightarrow \frac{u}{v}+\frac{v}{u}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}u=2v\\v=2u\end{matrix}\right.$$
Từ đây, ta dễ dàng suy ra $x$

Tổng quát:
Giải phương trình:
$$ax^2+bx+c=d\sqrt{x^3+\alpha^3}$$
Ta cần tìm hai số $p;q$ sao cho:
$$p(x+\alpha)+q(x^2-\alpha x + \alpha ^2)=ax^2+bx+c$$Khi đó, phương trình đã cho trở thành:
$$pu^2-duv + qv^2 = 0$$

Bài tập
Giải các phương trình sau:

$1) 2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8}$

$2) \sqrt{2}(x^2+8)=\sqrt{x^3+8}$

Read more »

Lớp PT $ax^2+bx+c = p\sqrt{qx+r}$

Bài viết này nói về một lớp phương trình vô tỉ dạng:
$$ax^2+bx+c = p\sqrt{qx+r} \text{ (1)}$$
$$ax^3+bx^2+cx+d=p\sqrt[3]{qx+r} \text{ (2)}$$

1) Cách giải

Cách 1
Biến đổi phương trình $(1)$ về dạng:
$$(mx+n)^2=p\sqrt{qx+r} +\alpha x + \beta$$
Đặt: $my+n = \sqrt{qx+r}$, ta thu được hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}(my+n)^2=qx+r\\(mx+n)^2=p(my+n)+\alpha x+ \beta \end{matrix}\right.$$
Nếu $\beta + pn = r$ thì ta có thể trừ từng vế hai phương trình của hệ và đưa về phương trình tích
Tương tự cho phương trình $(2)$

Cách 2
Cách này có thể áp dụng cho cả dạng tổng quát hơn
$$ax^2+bx+c = p\sqrt{qx^2+rx+s} \text{ (3)}$$
$$ax^3+bx^2+cx+d=p\sqrt[3]{qx^3+rx^2+sx+u} \text{ (4)}$$

Đối với $(4)$, đặt $y = \sqrt[3]{qx^3+rx^2+sx+u}$, ta được hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}y^3=qx^3+rx^2+sx+u\\py = ax^3+bx^2+cx+d \end{matrix}\right.$$
Cộng theo vế hai phương trình của hệ, biến đổi thành dạng:
$$y^3+\alpha y = (\beta x + \gamma)^3 + \alpha(\beta x + \gamma)$$
Dễ thấy hàm số $f(t) = t^3+ \alpha t$ đồng biến. Từ đó suy ra:
$$y = \beta x + \gamma$$

Đối với $(3)$, cũng làm tương tự và ta phải sử dụng tính chất của hàm số bậc hai:
$$f(t)= at^2+bt+c$$
ta có:
$$f(t) = f\left ( -\frac{b}{a}-t \right )$$ 2) Ví dụ
Bài toán 1: Giải phương trình: 
$$(x+5)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}$$ĐK: $x \geq - 1$

Giải
Đặt: $v=\sqrt[3]{3x+4}, u = \sqrt{x+1}$ ta có hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}(v^2+4)v+1=u\\ 3v^2+1 = u^3\end{matrix}\right.$$

Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta có:

$$(v^3+ 3v^2 + 3v + 1) + (v + 1) = u^3 + u$$

$$\Leftrightarrow (u+1)^3+(u+1)=v^3+v, \text{  (1)}$$

Xét hàm số $f(t) = t^3 + t$. Dễ thấy hàm số đồng biến. Do đó phương trình $(1)$ suy ra:

$u+1=v\Rightarrow (u+1)^3=3u^2+1$

$$ \Rightarrow  u^3 + 3u = 0 \Rightarrow u = 0$$

Từ đó ta có $x = -1$.

Thử lại ta thấy $x = -1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài toán 2: Giải phương trình $\sqrt{2x+1} = 3x^2+4x+1$.

Giải

ĐK: $x \geq - \frac{1}{2}$.

Đặt $y=\sqrt{2x+1}$. Ta có hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}y^2=2x+1\\y=4x^2-8x+1 \end{matrix}\right.$$

Cộng hai phương trình của hệ, ta có:

$$y^2+y = (2x-2)^2+(2x-2)$$

Xét hàm số bậc hai ...

3) Bài tập
Giải các phương trình sau:
$3.1) \sqrt[3]{3x-5} = 8x^3-36x^2+53x-25$

$3.2) 2x^2-6x-1=\sqrt{4x+5}$

$3.3) x^3-15x^2+78x-141 = 5\sqrt[3]{2x-9}$

$3.4) \sqrt{3x+1}=-4x^2+13x-5$

$3.5) x^3-3x^2+2\sqrt{(x+2)^3}-6x=0$

$3.6) 2\sqrt{2x-5}=27x^2-144x+191$

$3.7) x^3-x-3=2\sqrt[3]{6x-3x^2}$

$3.8) 4x^2-4x-10=\sqrt{8x^2-6x-10}$

$3.9) 27x^3+54x^2+39x+10=(x^2+x+2)\sqrt{x^2+x^1}$

$3.10) \sqrt[3]{12x+7}=64x^3+96x^2+40x+3$

$3.11) 5\sqrt[3]{2x-1}=81x^3-162x^2+117x-31$

$3.12) x^3-3x^2-2x-1-\sqrt[3]{3x^2+3x+1}=0$

$3.13) x^3+3x^2-x+1-2\sqrt[3]{6x+2}$

Read more »

$4x=\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{x+30}}}}$

Giải phương trình:

$$4x=\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{x+30}}}}$$

ĐK: $x \geq -30$

Đặt:

$$y=\frac{1}{4}\sqrt{x+30}$$

$$z=\frac{1}{4}\sqrt{y+30}$$

$$t=\frac{1}{4}\sqrt{z+30}$$

Từ phương trình đã cho suy ra:

$$x=\frac{1}{4}\sqrt{t+30}$$

Vậy ta có hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{4}\sqrt{t+30}\\ t=\frac{1}{4}\sqrt{z+30} \\z=\frac{1}{4}\sqrt{y+30}\\y=\frac{1}{4}\sqrt{x+30}\end{matrix}\right.$$

Xét hàm số: $f(u)=\frac{1}{4}\sqrt{u+30}$

Dễ thấy hàm số trên đồng biến trong $[-30; + \infty )$. 
Không mất tính tổng quát, ta giả sử: $x \geq t \geq z \geq y$. Ta có:
$$f(x) \geq f(t) \geq f(z) \geq f(y)$$
Từ đó:
$$y \geq x \geq t \geq z$$
Vậy $x = y= z = t$
Ta có: $4x = \sqrt{x+30}$Ta thu được nghiệm: $x=\frac{1+\sqrt{1921}}{32}$

Read more »