$\left\{\begin{matrix} \left ( 2y-3 \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2x=0 & \\ \left ( 2x-1 \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2y=0& \end{matrix}\right.$

Bài toán 1

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \left ( 2y-3 \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2x=0 & \\ \left ( 2x-1 \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2y=0& \end{matrix}\right.$$

Giải

Đặt $z = x+iy$ với $i$ là đơn vị ảo. Ta có:

$$|z| = x^2+y^2, \overline{z} = x-iy, i\overline{z} = y + ix$$

Nhân cả hai về của phương trình thứ nhất với $i$ rồi cộng vào phương trình thứ hai, ta có:

$$(x^2+y^2)[2x+2yi-(1+3i)]+2(y+xi) = 0$$

$$\Leftrightarrow  |z|^2[2z-(1+3i)]+2i\overline{z }=0,  \text{    (1)}$$

*TH1: $z=0$ là một nghiệm của phương trình $(1)$ hay $(0;0)$ là một nghiệm của hệ đã cho.

*TH2: $z\neq 0$, chia chả hai vế của $(1)$ cho $\overline{z }$, ta có:

$$2z^2-(3+i)z+2i=0$$

Đây là phương trình bậc hai đối với ẩn $z$. Ta có:

$$\Delta = (1+3i)^2 - 16i = -8 -10i =\left ( \sqrt{\sqrt{41}-4}-i\sqrt{\sqrt{41}+4} \right )^2$$

$$z_1=\frac{1+\sqrt{\sqrt{41}-4}+\left ( 3-\sqrt{\sqrt{41}+4} \right )i}{4}$$

$$\Rightarrow x = \frac{1+\sqrt{\sqrt{41}-4}}{4}; y = \frac{3-\sqrt{\sqrt{41}+4}}{4}$$

$$z_2=\frac{1-\sqrt{\sqrt{41}-4}+\left (3+\sqrt{\sqrt{41}+4} \right )i}{4}$$

$$\Rightarrow x = \frac{1-\sqrt{\sqrt{41}-4}}{4}; y = \frac{3+\sqrt{\sqrt{41}+4}}{4}$$

Thử lại, ta thấy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm:

$$(0;0), \left (  \frac{1+\sqrt{\sqrt{41}-4}}{4}; \frac{3-\sqrt{\sqrt{41}+4}}{4} \right ),$$
$$\left (  \frac{1-\sqrt{\sqrt{41}-4}}{4}; \frac{3+\sqrt{\sqrt{41}+4}}{4} \right )$$

Bài toán 2:

Giải hệ phương trình

$$\left\{ \begin{array}{l} y + \frac{{y + 3x}}{{x^2  + y^2 }} = 3,\left( 1 \right) \\ x = \frac{{x - 3y}}{{x^2  + y^2 }},\left( 2 \right)  \end{array} \right.$$

Giải
ĐKXĐ: $x^2+y^2>0$. Gọi $i$ là đơn vị ảo và $z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi \Rightarrow i\overline z  = y + xi$

Lấy (1) nhân $i$ rồi cộng với (2), ta được: $$\begin{array}{rcl}  x + yi + \frac{{3\left( {y + xi} \right) - \left( {x - yi} \right)}}{{x^2  + y^2 }} &=& 3i \\   \Leftrightarrow z + \frac{{3i\overline z  - \overline z }}{{\left| z \right|^2 }} &=& 3i \\   \Leftrightarrow z + \frac{{3i - 1}}{z} &=& 3i \\   \Leftrightarrow z^2  - 3iz + 3i - 1 &=& 0 \\  \end{array}$$

Xét
$$\Delta  = \left( { - 3i} \right)^2  - 4\left( {3i - 1} \right) = \left( {3i - 2} \right)^2$$

$$z_1  = \frac{{3i + 3i - 2}}{2} =  - 1 + 3i \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( { - 1;3} \right)$$
$$z_2  = \frac{{3i - \left( {3i - 2} \right)}}{2} = 1 + 0i \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right)$$

2 nghiệm trên đều thỏa hệ ban đầu nên đó là tất cả nghiệm cần tìm.