Thời gian làm bài: 180 phút
-------- Ngày thi thứ nhất--------
Bài 1 (5 điểm) Cho 2 dãy số thực dương $(x_{n}),(y_{n})$ xác định bởi $x_{1}=1,y_{1}=\sqrt{3}$
$$\left\{\begin{matrix} x_{n+1}y_{n+1}-x_{n}=0\\x_{n+1}^2+y_{n} =2 \end{matrix}\right.\forall n=1,2,3$$
Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.
Bài 2 (5 điểm) Cho đa thức $P(x)=(x^2-7x+6)^{2n}+13$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không thể biểu diễn được dưới dạng tích của $n+1$ đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.
Bài 3 (5 điểm) Cho đa giác đều có $103$ cạnh. Tô màu đỏ $79$ đỉnh của đa giác và tô màu xanh các đỉnh còn lại. Gọi $A$ là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và $B$ là số cặp đỉnh xanh kề nhau.
a. Tìm tất cả các giá trị có thể nhận được của cặp $(A,B)$.
b. Xác định số cách tô màu các đỉnh của đa giác để $B=14$. Biết rằng hai cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng có thể nhận được nhau từ một phép quay quanh tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác.
Bài 4 (5 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với $AB < AC$. Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$ . Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK =IC$. Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ ở $D$ khác $B$ và cắt đường thẳng $AI$ ở $E$ . Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng
$AC$ ở $F.$.
a. Chứng minh rằng $EF=\frac{BC}{2}$
b. Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$ song song với $AD$ . Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $B$ . Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AD.$.
Thời gian làm bài: 180 phút
-------- Ngày thi thứ hai--------
Bài 5 (7 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $B,C$ cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB$ và $AC$ lấy lần lượt các điểm $M$ và $N$ sao cho $MA=MC$ và $NA=NB$. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ và $ABC$
a) Chứng minh rằng ba điểm $A,P,Q$ thẳng hàng
b) Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Các đường tròn có tâm là $M,N$ và cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K(K\neq A)$. Đường thẳng đi qua $A$, vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F(F\neq A)$. Chứng minh rằng $AF$ đi qua một điểm cố định.
Bài 6 (7 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$T=\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$$
với $x,y,z$ là các số thực dương.
Bài 7 (6 điểm) Tìm tất cả các bộ số gồm $2014$ số hữu tỉ không nhất thiết phân biệt, thỏa mãn điều kiện: nếu bỏ đi một số bất kì trong bộ số đó thì $2013$ số còn lại có thể chia thành $3$ nhóm rời nhau sao cho mỗi nhóm gồm $671$ số và tích tất cả các số trong mỗi nhóm bằng nhau.
----------------Hết---------------
