Loading web-font TeX/Math/Italic

Giải PT, HPT bằng lượng giác

Thứ Bảy, 31 tháng 8, 2013

1) Phương trình dạng: ax^3-bx=c (ab>0), (1)


Ta sẽ sử dụng công thức:\cos 3x = 4\cos^3x - 3\cos x

Đặt x=\alpha \cos t, ta có:
(1) \Leftrightarrow a\alpha^3\cos^3t - b\alpha x = c

Ta cần tìm \alpha > 0 để:
\frac{a\alpha^3}{b\alpha}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \alpha =\sqrt{\frac{4b}{3a}}

Ví dụ 1. Giải phương trình:
x^3-3x=1, \text{    (2)}

Dễ thấy mọi x|x| > 2 đều không thỏa mãn phương trình.
Đặt x=2\cos t, phương trình (2) trở thành:
8\cos^3t - 6\cos t = 1\Leftrightarrow 4\cos^3t-3\cos t = \frac{1}{2}

\Leftrightarrow \cos 3t = \frac{1}{2}\Leftrightarrow t = \pm \frac{\pi}{9}+ k\frac{2\pi}{3}, (k \in \mathbb{Z})

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm:
x_k=2\cos \left ( \frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3} \right ), k = 0,1,2


Ví dụ 2. Giải phương trình
x^3−x^2−2x+1=0, \text{    (3)}

Giải
Cách 1
Ta có:
(3) \Leftrightarrow \left ( x-\frac{1}{3} \right )^3-\frac{7}{3}\left ( x-\frac{1}{3} \right )=-\frac{7}{27}

Đặt x-\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{7}}{3}\cos t, ta được phương trình:
\cos 3t = - \frac{\sqrt{7}}{14}\Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{3}\arccos\left (- \frac{\sqrt{7}}{14} \right )+k\frac{2\pi}{3}

Từ đó, phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt:
x_k = \frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{7}}{3}\cos \left [ \frac{1}{3}\arccos \left (- \frac{\sqrt{7}}{14} \right ) + k\frac{2\pi}{3}\right ], k = 0,1,2


Cách 2: Xem ví dụ 3 ở đây


2) Một số phương trình lượng giác hóa khác:
Phương trình chứa \sqrt{a^2-x^2}, đặt x = |a|\sin t, t \in \left [ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ] hoặc x = |a|\cos t, t \in \left [ 0;\pi \right ] 

Phương trình chứa \sqrt{x^2-a^2}, đặt x = \frac{|a|}{\sin t}, t \in \left [ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ]\setminus \{ 0 \}  hoặc x = \frac{|a|}{\cos t}, t \in \left [ 0;\pi \right ] \setminus  \left \{ \frac{\pi}{2} \right \}

Phương trình chứa \sqrt{a^2+x^2}, đặt x = |a|\tan t, t \in \left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ) hoặc x = |a|\cot t, t \in \left ( 0;\pi \right ) 


3) Hệ phương trình:
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:
(4) \left\{\begin{matrix}x=\frac{2y}{1-y^2}\\ y=\frac{2x}{1-x^2}\end{matrix}\right.
Giải
Cách 1: Đây là hệ phương trình đối xứng loại II
Cách 2: ĐK x,y \neq \pm 1
Đặt x = \tan t, t \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z}), ta có:
\left\{\begin{matrix}x=\tan t\\y=\tan 2t\\x = \tan 4t \end{matrix}\right.
Từ đó ta có:
\tan t = \tan 4t \Leftrightarrow t = k\frac{\pi}{3} (k \in \mathbb{Z})
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm:
(0;0),(\sqrt{3};-\sqrt{3}),(-\sqrt{3};\sqrt{3})

4) Bài tập
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
4.1) x^3 - 4x = 1
4.2) \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=2+\sqrt{1-x^2}
4.3) \sqrt{x^2+1} = \frac{5}{\sqrt{x^2+1}}+x
4.4) x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}=\frac{35}{12}
4.5) \left\{\begin{matrix}x=\frac{2y}{1-y^2}\\ y=\frac{2z}{1-z^2}\\z=\frac{2x}{1-x^2}\end{matrix}\right.
4.6) \left\{\begin{matrix}x=2y^2-1\\ y=2z^2-1\\z=2x^2-1\end{matrix}\right.
4.7) \left\{\begin{matrix}x=4y^3-3y\\ y=4z^3-3z\\z=4x^3-3x\end{matrix}\right.

0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.