Giải PT, HPT bằng lượng giác

1) Phương trình dạng: $ax^3-bx=c (ab>0), (1)$

Ta sẽ sử dụng công thức:$$\cos 3x = 4\cos^3x - 3\cos x$$
Đặt $x=\alpha \cos t$, ta có:
$$(1) \Leftrightarrow a\alpha^3\cos^3t - b\alpha x = c$$
Ta cần tìm $\alpha > 0$ để:
$$\frac{a\alpha^3}{b\alpha}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \alpha =\sqrt{\frac{4b}{3a}}$$
Ví dụ 1. Giải phương trình:
$$x^3-3x=1, \text{    (2)}$$
Dễ thấy mọi $x$ mà $|x| > 2$ đều không thỏa mãn phương trình.
Đặt $x=2\cos t$, phương trình $(2)$ trở thành:
$$8\cos^3t - 6\cos t = 1\Leftrightarrow 4\cos^3t-3\cos t = \frac{1}{2}$$
$$\Leftrightarrow \cos 3t = \frac{1}{2}\Leftrightarrow t = \pm \frac{\pi}{9}+ k\frac{2\pi}{3}, (k \in \mathbb{Z})$$
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm:
$$x_k=2\cos \left ( \frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3} \right ), k = 0,1,2$$

Ví dụ 2. Giải phương trình
$$x^3−x^2−2x+1=0, \text{    (3)}$$

Giải

Cách 1

Ta có:

$$(3) \Leftrightarrow \left ( x-\frac{1}{3} \right )^3-\frac{7}{3}\left ( x-\frac{1}{3} \right )=-\frac{7}{27}$$
Đặt $x-\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{7}}{3}\cos t$, ta được phương trình:
$$\cos 3t = - \frac{\sqrt{7}}{14}\Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{3}\arccos\left (- \frac{\sqrt{7}}{14} \right )+k\frac{2\pi}{3}$$
Từ đó, phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt:
$$x_k = \frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{7}}{3}\cos \left [ \frac{1}{3}\arccos \left (- \frac{\sqrt{7}}{14} \right ) + k\frac{2\pi}{3}\right ], k = 0,1,2$$

Cách 2: Xem ví dụ 3 ở đây

2) Một số phương trình lượng giác hóa khác:
Phương trình chứa $\sqrt{a^2-x^2}$, đặt $x = |a|\sin t, t \in \left [ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ]$ hoặc $x = |a|\cos t, t \in \left [ 0;\pi \right ]$ 

Phương trình chứa $\sqrt{x^2-a^2}$, đặt $x = \frac{|a|}{\sin t}, t \in \left [ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ]\setminus \{ 0 \} $ hoặc $x = \frac{|a|}{\cos t}, t \in \left [ 0;\pi \right ] \setminus  \left \{ \frac{\pi}{2} \right \}$

Phương trình chứa $\sqrt{a^2+x^2}$, đặt $x = |a|\tan t, t \in \left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right )$ hoặc $x = |a|\cot t, t \in \left ( 0;\pi \right )$ 

3) Hệ phương trình:

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:

$$(4) \left\{\begin{matrix}x=\frac{2y}{1-y^2}\\ y=\frac{2x}{1-x^2}\end{matrix}\right.$$

Giải

Cách 1: Đây là hệ phương trình đối xứng loại II

Cách 2: ĐK $x,y \neq \pm 1$. 

Đặt $x = \tan t, t \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$, ta có:

$$\left\{\begin{matrix}x=\tan t\\y=\tan 2t\\x = \tan 4t \end{matrix}\right.$$

Từ đó ta có:

$$\tan t = \tan 4t \Leftrightarrow t = k\frac{\pi}{3} (k \in \mathbb{Z})$$

Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm:

$$(0;0),(\sqrt{3};-\sqrt{3}),(-\sqrt{3};\sqrt{3})$$

4) Bài tập

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
$4.1) x^3 - 4x = 1$
$4.2) \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=2+\sqrt{1-x^2}$
$4.3) \sqrt{x^2+1} = \frac{5}{\sqrt{x^2+1}}+x$
$4.4) x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}=\frac{35}{12}$
$4.5) \left\{\begin{matrix}x=\frac{2y}{1-y^2}\\ y=\frac{2z}{1-z^2}\\z=\frac{2x}{1-x^2}\end{matrix}\right.$
$4.6) \left\{\begin{matrix}x=2y^2-1\\ y=2z^2-1\\z=2x^2-1\end{matrix}\right.$
$4.7) \left\{\begin{matrix}x=4y^3-3y\\ y=4z^3-3z\\z=4x^3-3x\end{matrix}\right.$