Hệ phương trình hoán vị vòng quanh

1) Định nghĩa:

Hệ phương trình hoán vị vòng quanh (3 ẩn) là hệ phương trình có dạng:

$$(1) \left\{\begin{matrix}f(x)=g(y)\\f(y)=g(z)\\f(z) =g(x) \end{matrix}\right.$$

2) Cách giải

Nếu các hàm số $f(t), g(t)$ cùng đồng biến thì ta có cách giải sau:

Giả sử $x \leq y \leq z$, vì hàm số $f(t)$ đồng biến nên ta có:

$$f(x) \leq f(y) \leq f(z)$$

Từ đó, kết hợp với $(1)$, ta có:

$$g(y) \leq g(z) \leq g(x)$$

Mà hàm số $g(t)$ đồng bến nên ta suy ra:

$$y \leq z \leq x$$

Do đó:

$$x=y=z$$

Thay vào một trong ba phương trình của hệ $(1)$ ta có phương trình một ẩn. Nhìn chung, phương trình thu được khá dễ.

Nếu các hàm số  $f(t), g(t)$ cùng nghịch biến thì ta có cách giải tương tự.

3) Ví dụ

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

$$(2) \left\{\begin{matrix}x^3-6=y \\y^3-6 =z\\z^3-6=x\end{matrix}\right.$$
Giải

Xét hàm số:
$$f(t) = t^3-6$$
Dễ thấy hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. Hệ $(2)$ trở thành:
$$(2.1) \left\{\begin{matrix}y=f(x) \\z=f(y)\\x=f(z)\end{matrix}\right.$$

Giả sử $x \leq y \leq z$, vì hàm số $f(t)$ đồng biến nên ta có:

$$f(x) \leq f(y) \leq f(z)$$

Từ đó, kết hợp với $(2.1)$, ta có:

$$y \leq z \leq x$$

Do đó:

$$x=y=z$$
Từ đó, ta có:
$$x^3-x-6=0 \Leftrightarrow (x-2)(x^2+2x+3)=0 \Leftrightarrow x=2$$
Vậy hệ $(2)$ có nghiệm duy nhất $(2;2;2)$

Nhưng không phải lúc nào ta cũng dễ dàng tìm ra hàm $f(t)$
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
$$(3) \left\{\begin{matrix}(x-1)^2=2y \\(y-1)^2=2z\\(z-1)^2=2x\end{matrix}\right.$$
Giải

Từ hệ phương trình ta có:
$$x \geq 0; y \geq 0; z \geq 0$$ Do đó:

$$(3) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\sqrt{2y}+1 \\y=\sqrt{2z}+1\\z=\sqrt{2x}+1\end{matrix}\right.$$
Bằng cách giải tương tự ta thu được $x=y=z$. Thay vào một trong ba phương trình của $(3)$, ta có:
$$x^2-4x+1=0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{3}$$ Vậy hệ $(3)$ có hai nghiệm:
$$(2+\sqrt{3};2+\sqrt{3};2+\sqrt{3}); (2-\sqrt{3};2-\sqrt{3};2-\sqrt{3})$$

Ta hãy xét một trường hợp có cả hai hàm $f,g$ như lý thuyết.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:
$$(4) \left\{\begin{matrix}x^3+x^2+2x-1=2y^3 \\y^3+y^2+2y-1=2z^3\\z^3+z^2+2z-1=2x^3\end{matrix}\right.$$
Giải
Xét hai hàm số:
$$f(t)=t^3+t^2+2t-1;g(t)=2t^3$$
Dễ thấy, hai hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. Hệ $(4)$ trở thành:
$$\left\{\begin{matrix}f(x)=g(y)\\f(y)=g(z)\\f(z) =g(x) \end{matrix}\right.$$
Bằng cách giải như mục 2, ta thu được: $x=y=z$
Thay vào phương trình đầu của $(4)$ ta được:
$$x^3-x^2-2x+1=0 \text{ (4.1)}$$
Xét hàm số $h(x) = x^3-x^2-2x+1=0$ liên tục trên $[-2;2]$ và:
$$h(-2) < 0; h(-1) > 0; h(0) > 0 ; h(1) < 0; h(2) > 0$$
Do đó, phương trình $(4.1)$ có ba nghiệm trong khoảng $(-2;2)$. Đặt $x =2\cos t, t \in (0;\pi)$, ta có $\sin t \neq 0$ và $(4.1)$ trở thành:
$$8\cos^3t-4\cos^2t-4\cos t+1=0$$
$$\Leftrightarrow \sin t(8\cos^3t-4\cos^2t-4\cos t+1)=0$$
$$\Leftrightarrow \sin 4t=\sin 3t$$
$$\Leftrightarrow t\in \left \{ \frac{\pi}{7}; \frac{3\pi}{7};\frac{5\pi}{7}\right \}$$
Vậy hệ $(4)$ có ba nghiệm:
$$(2\cos t;2\cos t;2\cos t), t\in \left \{ \frac{\pi}{7}; \frac{3\pi}{7};\frac{5\pi}{7}\right \}$$

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:
$$(5) \left\{\begin{matrix}2x^3-7x^2+8x-2=y\\2y^3-7y^2+8y-2=z\\2z^3-7z^2+8z-2=x\end{matrix}\right.$$
Nhận xét:
Nếu xét hàm số $f(t)=2t^3-7t^2+8t-2$ thì ta được hàm số không hoàn toàn đồng biến. Giá mà ta có thế thay số $8$ thành số $9$. Ta có cách giải sau:
Giải
Ta có:

$$(5) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x^3-7x^2+9x-2=y+x\\2y^3-7y^2+9y-2=z+y\\2z^3-7z^2+9z-2=x+z\end{matrix}\right.$$
Xét hàm số $f(t) = 2t^3-7t^2+9t-2$. Dễ thấy hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Giả sử $x \leq y \leq z$, vì hàm số $f(t)$ đồng biến nên ta có:
$$f(x) \leq f(y) \leq f(z)$$
Từ đó, ta có:
$$y+x \leq z+y \leq x+z$$
Do đó: $x=y$
Thay vào 2 phương trình đầu, ta có $x=y=z$
Từ đó:

$$2x^3-7x^2+7x-2=0\Leftrightarrow x \in \left \{ 2;1;\frac{1}{2}\right \}$$
Vậy hệ phương trình $(5)$ có nghiệm:
$$(1;1;1);(2;2;2);\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )$$
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình:
$$(6) \left\{\begin{matrix}x^3-9x^2+27x-27=0\\x^3-9x^2+27x-27=0\\x^3-9x^2+27x-27=0\end{matrix}\right.$$
Giải
Xét hàm số: $f(t) = \sqrt[3]{9x^2-27x+27}$. Dễ thấy hàm số đã cho có tập giá trị $G=\left [ \frac{3}{\sqrt[3]4};+\infty  \right )$. Do đó $x;y;z \in G$
Hàm số $f(t)$ đồng biến trong $\left ( \frac{3}{2};+\infty  \right )$ nên cũng đồng biến trên $G$.
Ta lại có lý luận và lời giải tương tự các ví dụ trên.

4) Bài tập
Giải các phương trình và hệ phương trình sau
$(4.1)\left\{\begin{matrix}2y^3+2x^2+3x+3=0\\2z^3+2y^2+3y+3=0\\2x^3+2z^2+3z+3=0\end{matrix}\right.$

$(4.2) \left\{\begin{matrix}2x(y^2+1)=y(y^2+9)\\2y(z^2+1)=z(z^2+9)\\2z(x^2+1)=x(x^2+9)\end{matrix}\right.$

$(4.2) \left\{\begin{matrix}x^2+x-y-1=0\\y^2+y-z-1=0\\z^2+z-x-1=0\end{matrix}\right.$

$(4.3)\left\{\begin{matrix}\frac{20y}{x^2}+11y=2013\\ \frac{20z}{y^2}+11z=2013\\ \frac{20x}{z^2}+11x=2013\end{matrix}\right.$

$(4.4)\left\{\begin{matrix}2x=\sqrt{3z-2}+z^3-2z^2+2\\ 2y=\sqrt{3x-2}+x^3-2x^2+2\\ 2z=\sqrt{3y-2}+y^3-2y^2+2\end{matrix}\right.$

$(4.5)\left\{\begin{matrix}2x^3+4x+4=(y+1)(y^2+2y+2)\\2y^3+4y+4=(z+1)(z^2+2z+2)\\ 2z^3+4z+4=(x+1)(x^2+2x+2)\end{matrix}\right.$

$(4.6) \text{     } 4x=\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{x+30}}}}$

$(4.7) \left\{\begin{matrix}5x=2y^2-4y+7\\5y=2z^2-4z+7 \\ 5z=2x^2-4x+7\end{matrix}\right.$