Ứng dụng của đẳng thức khai triển $x^4 + \alpha ^2$

Ta có đẳng thức sau:

$$x^4 + \alpha ^2 = (x^2+\sqrt{2\alpha}x+\alpha)(x^2-\sqrt{2\alpha}x+\alpha)$$

1) Ứng dụng trong giải phương trình:
Ví dụ 1. Giải phương trình:
$$7x^2-10x+14 = 5\sqrt{x^4+4} \text{    (1)}$$
Giải
Ta có:
$$x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$$
Ta cần tìm các số $a,b$ sao cho:
$$a(x^2-2x+2)+b(x^2+2x+2)=7x^2-10x+14$$
Dễ dàng tìm được $a = 6; b=1$. Đặt:
$$u=\sqrt{x^2-2x+2};v=\sqrt{x^2+2x+2}$$
Ta có:
$$(1) \Leftrightarrow 6u^2-5uv+v^2=0$$
$$\Leftrightarrow (v-2u)(v-3u) = 0$$
$$\Leftrightarrow v=2u; v=3u .$$
TH1: $v=2u$, ta có
$$x^2-6x+2 = 0\Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{7}$$
TH2: $v=3u$, ta có
$$x^2-4x+2 = 0\Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{2}$$

2) Ứng dụng khi tính tích phân

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm:

$$\int \frac{x^2+2}{x^4+4}dx$$
Giải
Dễ thấy:
$$\frac{x^2+2}{x^4+4} = \frac{1}{2}\left (\frac{1}{(x-1)^2+1}+\frac{1}{(x+1)^2+1} \right )$$
Bằng cách đặt $x\pm 1 = \tan t$, ta dễ dàng tính được tích phân đã cho.

3) Bài tập

3.1. Giải phương trình: $7x^2+5\sqrt{2}x+7=\sqrt{x^4+1}$

3.2. Tính tích phân: $\int_{0}^{1}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx$