Processing math: 100%

Ứng dụng của đẳng thức khai triển x^4 + \alpha ^2

Thứ Hai, 2 tháng 9, 2013

Ta có đẳng thức sau:
x^4 + \alpha ^2 = (x^2+\sqrt{2\alpha}x+\alpha)(x^2-\sqrt{2\alpha}x+\alpha)


1) Ứng dụng trong giải phương trình:

Ví dụ 1. Giải phương trình:
7x^2-10x+14 = 5\sqrt{x^4+4} \text{    (1)}
Giải
Ta có:
x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)
Ta cần tìm các số a,b sao cho:
a(x^2-2x+2)+b(x^2+2x+2)=7x^2-10x+14
Dễ dàng tìm được a = 6; b=1. Đặt:
u=\sqrt{x^2-2x+2};v=\sqrt{x^2+2x+2}
Ta có:
(1) \Leftrightarrow 6u^2-5uv+v^2=0
\Leftrightarrow (v-2u)(v-3u) = 0
\Leftrightarrow v=2u; v=3u .
TH1: v=2u, ta có
x^2-6x+2 = 0\Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{7}
TH2: v=3u, ta có
x^2-4x+2 = 0\Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{2}


2) Ứng dụng khi tính tích phân
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm:
\int \frac{x^2+2}{x^4+4}dx
Giải
Dễ thấy:
\frac{x^2+2}{x^4+4} = \frac{1}{2}\left (\frac{1}{(x-1)^2+1}+\frac{1}{(x+1)^2+1} \right )
Bằng cách đặt x\pm 1 = \tan t, ta dễ dàng tính được tích phân đã cho.



3) Bài tập
3.1. Giải phương trình: 7x^2+5\sqrt{2}x+7=\sqrt{x^4+1}
3.2. Tính tích phân: \int_{0}^{1}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx

0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.