$f(xy)-f(x)f(y)=2014(f(x+y)-2xy-1)$

Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, biết rằng $f$ là hàm chẵn và thỏa mãn:

$$f(xy)-f(x)f(y)=2014(f(x+y)-2xy-1),\forall x, y\in \mathbb{R} \quad \quad (1)$$

Giải

Thay $y$ bằng $-y$ vào $(1)$, ta có:

$$f(xy)-f(x)f(y)=2014(f(x-y)+2xy-1) \quad \quad (2)$$

Trừ từng vế của $(2)$ cho $(1)$, ta có:

$$f(x+y)=f(x-y)+4xy, \forall x, y\in \mathbb{R} \quad \quad (3)$$

Thay $x=y$ vào $(3)$, ta có:

$$f(2x) = 4x^2+f(0), \forall x \in \mathbb{R}$$

Đổi biến, ta được:

$$f(x) = x^2 + f(0), \forall x \in \mathbb{R}$$

Thay $x=y=0$ vào $(1)$, ta có:

$$f(0)-[f(0)]^2 = 2014[f(0)-1] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  f(0) = 1 \\   f(0) =  - 2014   \end{array} \right.$$

Vậy các hàm số cần tìm là:

$$f(x)=x^2 +1 ; f(x) = x^2 - 2014$$