Ứng dụng đẳng thức $x^3+\alpha ^3$

Bài toán:
Giải phương trình $2x^2+4 = 5\sqrt{x^3+1}$

ĐK: $x \geq -1$
Đặt:
$$\left\{\begin{matrix}u=\sqrt{x+1}\\v=\sqrt{x^2-x+1} \end{matrix}\right.$$
Dễ thấy $x = -1$ không thỏa mãn phương trình đã cho. Do đó $uv \neq 0$
Ta có:
$$u^2+v^2=x^2+2$$
Từ đó phương trình đã cho có dạng:
$$2(u^2+v^2)=5uv$$
$$\Leftrightarrow \frac{u}{v}+\frac{v}{u}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}u=2v\\v=2u\end{matrix}\right.$$
Từ đây, ta dễ dàng suy ra $x$

Tổng quát:
Giải phương trình:
$$ax^2+bx+c=d\sqrt{x^3+\alpha^3}$$
Ta cần tìm hai số $p;q$ sao cho:
$$p(x+\alpha)+q(x^2-\alpha x + \alpha ^2)=ax^2+bx+c$$ Khi đó, phương trình đã cho trở thành:
$$pu^2-duv + qv^2 = 0$$

Bài tập
Giải các phương trình sau:

$1) 2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8}$

$2) \sqrt{2}(x^2+8)=\sqrt{x^3+8}$