Lớp PT $ax^2+bx+c = p\sqrt{qx+r}$

Bài viết này nói về một lớp phương trình vô tỉ dạng:
$$ax^2+bx+c = p\sqrt{qx+r} \text{ (1)}$$
$$ax^3+bx^2+cx+d=p\sqrt[3]{qx+r} \text{ (2)}$$

1) Cách giải

Cách 1
Biến đổi phương trình $(1)$ về dạng:
$$(mx+n)^2=p\sqrt{qx+r} +\alpha x + \beta$$
Đặt: $my+n = \sqrt{qx+r}$, ta thu được hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}(my+n)^2=qx+r\\(mx+n)^2=p(my+n)+\alpha x+ \beta \end{matrix}\right.$$
Nếu $\beta + pn = r$ thì ta có thể trừ từng vế hai phương trình của hệ và đưa về phương trình tích
Tương tự cho phương trình $(2)$

Cách 2
Cách này có thể áp dụng cho cả dạng tổng quát hơn
$$ax^2+bx+c = p\sqrt{qx^2+rx+s} \text{ (3)}$$
$$ax^3+bx^2+cx+d=p\sqrt[3]{qx^3+rx^2+sx+u} \text{ (4)}$$

Đối với $(4)$, đặt $y = \sqrt[3]{qx^3+rx^2+sx+u}$, ta được hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}y^3=qx^3+rx^2+sx+u\\py = ax^3+bx^2+cx+d \end{matrix}\right.$$
Cộng theo vế hai phương trình của hệ, biến đổi thành dạng:
$$y^3+\alpha y = (\beta x + \gamma)^3 + \alpha(\beta x + \gamma)$$
Dễ thấy hàm số $f(t) = t^3+ \alpha t$ đồng biến. Từ đó suy ra:
$$y = \beta x + \gamma$$

Đối với $(3)$, cũng làm tương tự và ta phải sử dụng tính chất của hàm số bậc hai:
$$f(t)= at^2+bt+c$$
ta có:
$$f(t) = f\left ( -\frac{b}{a}-t \right )$$ 2) Ví dụ
Bài toán 1: Giải phương trình: 
$$(x+5)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}$$ ĐK: $x \geq - 1$

Giải
Đặt: $v=\sqrt[3]{3x+4}, u = \sqrt{x+1}$ ta có hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}(v^2+4)v+1=u\\ 3v^2+1 = u^3\end{matrix}\right.$$

Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta có:

$$(v^3+ 3v^2 + 3v + 1) + (v + 1) = u^3 + u$$

$$\Leftrightarrow (u+1)^3+(u+1)=v^3+v, \text{  (1)}$$

Xét hàm số $f(t) = t^3 + t$. Dễ thấy hàm số đồng biến. Do đó phương trình $(1)$ suy ra:

$u+1=v\Rightarrow (u+1)^3=3u^2+1$

$$\Rightarrow  u^3 + 3u = 0 \Rightarrow u = 0$$

Từ đó ta có $x = -1$.

Thử lại ta thấy $x = -1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài toán 2: Giải phương trình $\sqrt{2x+1} = 3x^2+4x+1$.

Giải

ĐK: $x \geq - \frac{1}{2}$.

Đặt $y=\sqrt{2x+1}$. Ta có hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}y^2=2x+1\\y=4x^2-8x+1 \end{matrix}\right.$$

Cộng hai phương trình của hệ, ta có:

$$y^2+y = (2x-2)^2+(2x-2)$$

Xét hàm số bậc hai ...

3) Bài tập
Giải các phương trình sau:
$3.1) \sqrt[3]{3x-5} = 8x^3-36x^2+53x-25$

$3.2) 2x^2-6x-1=\sqrt{4x+5}$

$3.3) x^3-15x^2+78x-141 = 5\sqrt[3]{2x-9}$

$3.4) \sqrt{3x+1}=-4x^2+13x-5$

$3.5) x^3-3x^2+2\sqrt{(x+2)^3}-6x=0$

$3.6) 2\sqrt{2x-5}=27x^2-144x+191$

$3.7) x^3-x-3=2\sqrt[3]{6x-3x^2}$

$3.8) 4x^2-4x-10=\sqrt{8x^2-6x-10}$

$3.9) 27x^3+54x^2+39x+10=(x^2+x+2)\sqrt{x^2+x^1}$

$3.10) \sqrt[3]{12x+7}=64x^3+96x^2+40x+3$

$3.11) 5\sqrt[3]{2x-1}=81x^3-162x^2+117x-31$

$3.12) x^3-3x^2-2x-1-\sqrt[3]{3x^2+3x+1}=0$

$3.13) x^3+3x^2-x+1-2\sqrt[3]{6x+2}$