Bài tập

Lâu lâu lại tự kiếm bài tập để làm ...

Câu 1
Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình:
$$(m-3)9^x+2(m+1)3^x+m-1=0, \text{   (1)}$$
Giải
Đặt $3^x=t > 1$, ta có phương trình:
$$(m-3)t^2+2(m+1)t+m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{3t^2-2t+1}{(t+1)^2}$$
Xét hàm số $f(t) = \frac{3t^2-2t+1}{(t+1)^2}$, ta có:
$$f'(t) = \frac{8t-4}{(t+1)^3}; f'(t) = 0\Leftrightarrow t= \frac{1}{2}$$
Lập bảng biến thiên của hàm số $f(t)$ trong $(0;+\infty)$. Từ bảng biến thiên ta có các trường hợp sau:
$*) m < \frac{1}{3}$ thì phương trình $(1)$ vô nghiệm
$*) m = \frac{1}{3}$ hoặc $1 \leq m < 3$ thì phương trình $(1)$ có đúng 1 nghiệm
$*) \frac{1}{3} < m < 1$ thì phương trình $(1)$ có đúng 2 nghiệm

$*) m > 3$ thì phương trình $(1)$ vô nghiệm.

Câu 2
 Cho $0 < x < \frac{\pi }{4}$. Chứng minh rằng:

$$\frac{cos x}{(cos x - sin x)sin^2x}> 8$$

Giải
Do $0 < x < \frac{\pi}{4} \Rightarrow \cos{x} > 0$ và $\tan{x} < 1$
Chia cả tử cả mẫu của vế trái cho $\cos^3{x}$, ta được:
$$\frac{\frac{1}{\cos^2{x}}}{\left ( 1 - \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\right )\tan^2{x}} > 8$$
$$\Leftrightarrow \frac{\tan^2{x} + 1}{(1 - \tan{x})\tan^2{x}} > 8 \Leftrightarrow 8\tan^3{x} + 1 > 7\tan^2{x}$$
Theo BĐT Cauchy, ta có: $8a^3 + 1 = 4a^3 + 4a^3 + 1 \geq 3\sqrt[3]{16}a^2 > 7a^2$
Vậy, ta có điều phải chứng minh.

Câu 3
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng $\frac{3}{2}$, biết $A(2;-3), B(3;-2)$ và trọng tâm tam giác nằm trên đường thẳng $\Delta: 3x-y-8=0$. Tìm tọa độ của $C$.
Giải
Giả sử $C(u;v)$. Khi đó trọng tâm của tam giác $ABC$ là:
$$G\left ( \frac{u+5}{3};\frac{v-5}{3} \right )$$
Vì $G \in \Delta$ nên ta có:
$$3u-v-4=0, \text{   (3a)}$$
Ta có phương trình đường thẳng $AB: x - y - 5 = 0$.
$$d_{(C;AB)}=\frac{|u-v-5|}{\sqrt2}$$
Mà
$$d_{(C;AB)}=\frac{2S}{AB} = 3$$
Do đó ta có:
$$|u-v-5| = 3,\text{   (3b)}$$
Từ $(3a)$ và $(3b)$ ta có:
$$C_1(1;-1), C_2(-2;-10)$$

Câu 4
Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm:
$$x^2+m(x-1) = 6x\sqrt{x-1},\text{    (4)}$$
Giải
ĐK: $x \geq 1$
Dễ thấy $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình $(4)$. Chia cả hai vế của $(4)$ cho $x-1$, và đặt $t = \frac{x}{\sqrt{x-1}} \geq 2$, ta có:
$$m = 6t-t^2$$
Vì tập giá trị của hàm số $f(t) = 6t-t^2, \forall t \in (2;+\infty)$ là $(-\infty; 9)$ nên phương trình $(4)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m \leq 9$.

Câu 5
Cho hai số $x,y$ thỏa mãn:
$$\left\{\begin{matrix} 2y \geq x^2\\y \leq -2x^2+3x \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng $x^2+y^2 \leq 2$

Giải
Từ giả thiết ta có:
$$\frac{x^2}{2} \leq y \leq -2x^2+3x \Rightarrow x^2+y^2 \leq 2$$
Dễ dàng suy ra: $0 \leq x \leq \frac{6}{5}$
Ta có
$$x^2+y^2 \leq x^2 + (-2x^2+3x)^2 = 4x^4-12x^3+10x^2 = f(x)$$
Ta sẽ đi tìm GTLN của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\left [ 0;\frac{6}{5} \right ]$
$$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1, x = 0, x = \frac{5}{4}$$
$$f(0) = 0; f(1) = 2; f\left ( \frac{6}{5} \right )=\frac{1224}{625}$$
Vậy
$$x^2+y^2 \leq \max_{\left [ 0;\frac{6}{5} \right ]}f(x) = f(1)=2$$
Dấu " $=$"; xảy ra khi và chỉ khi$x=y=1$

Câu 6
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho $C(2;-5)$ và đường thẳng $\Delta: 3x-4y+4=0$. Tìm trên $\Delta$ hai điểm $A,B$ đối xứng với nhau qua $I\left ( 2;\frac{5}{2} \right )$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $15$.
Giải

Ta có:

$$AB=\frac{2S}{d_{(C;\Delta)}}=5$$

Giả sử $A(4a;3a+1) \in \Delta$. Khi đó:

$$IA=\frac{5}{2}\Leftrightarrow a=1$$

Vậy $A(4;4), B(0;1)$