Ứng dụng của hệ đối xứng loại II

1. Định nghĩa

Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ phương trình hai ẩn mà khi thay đổi vai trò của $x$ và $y$cho nhau thì phương trình này của hệ biến thành phương trình kia và ngược lại.

2. Cách giải

Để giải hệ phương trình đối xứng loại II, ta trừ từng vế hai phương trình của hệ và đặt thừa số cchung, quy về phương trình tích.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

$$(1) \left\{\begin{matrix}2x=y^2-4y+5\\ 2y=x^2-4x+5\end{matrix}\right.$$

Giải

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

$$2(x-y)=y^2-x^2-4(y-x)=0$$

$$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-2)=0\Leftrightarrow x=y; y=2-x $$

TH1: $x=y$, Phương trình đầu của $(1)$ tương đương với:

$$x^2-6x+5=0 \Leftrightarrow x \in \{1;5 \}$$

TH2: $y=2-x$, Phương trình đầu của $(1)$ tương đương với:

$$x^2-2x+1=0 \Leftrightarrow x=1$$

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:

$$(1;1), (5;5)$$

3. Ứng dụng

Hệ đối xứng loại II có thể được sử dụng để giải một số phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ 2. Giải phương trình:

$$\sqrt{\sqrt{x}+2} + 2 =x$$

Giải

ĐK: $x \geq 0$

Đặt $y = \sqrt{x}+2$ ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix}x=\sqrt{y}+2\\y=\sqrt{x}+2 \end{matrix}\right.$$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được

$$(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+1)=0\Leftrightarrow x =y$$

Từ đó, ta có:

$$x - \sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4$$

4. Bài tập

Giải các phương trình sau: 

$1) \sqrt{\sqrt{x+5}+6}-x+1=0$

$2)(x^2+x-4)^2+x^2-8=0$

$3) x + 1 = (x^2+2x-1)^2 + 2(x^2+2x-1)$

$4) 2(2x^2-2x-5)^2-4x^2+3x+5=0$

$5)\sqrt{16-8x-3x^2}=x^2+3x-4$

$6) x+ 3(1-3x^2)^2=1$

$7) 2x^2-6x-1 = \sqrt{4x+5}$