Giải hệ phương trình sau :
\begin{cases} 4 + 9.3^{x^2 - 2y} = (4 + 9^{x^2 - 2y} ).7^{2y - x^2 + 2} \\ 4^x + 4 = 4x + 4\sqrt {2y - 2x + 4} \end{cases}
Giải
ĐK : y - x + 2 \ge 0.
Đặt t = x^2 - 2y, khi đó
\begin{align*} (1) & \Leftrightarrow 4 + 3^{t + 2} = (4 + 9^t ).7^{2 - t} \\ & \Leftrightarrow \frac{{4 + 3^{t + 2} }}{{7^{t + 2} }} = \frac{{4 + 3^{2t} }}{{7^{2t} }} \\& \Leftrightarrow f(t + 2) = f(2t) \end{align*}
trong đó
f(t) = \frac{{4 + 3^t }}{{7^t }} = 4\left( {\frac{1}{7}} \right)^t + \left( {\frac{3}{7}} \right)^t
Dễ thấy f(t) làm hàm số nghịch biến. Do đó
f(t + 2) = f(2t) \Leftrightarrow t + 2 = 2t \Leftrightarrow t = 2
hay x^2 - 2y = 2.
Thay vào (2) ta được
4^x + 4 = 4x + 4\sqrt {x^2 - 2 - 2x + 4} \Leftrightarrow 4^{x - 1} = x - 1 + \sqrt {(x - 1)^2 + 1}
Đặt u=x-1, ta có:
\begin{cases}4^u=u+\sqrt{u^1+1} \\4^{_u}=u-\sqrt{u^1+1}\end{cases}
Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta có:
4^u+4^{-u}=2u \quad (3)
Xét hàm số
g(u)=4^u+4^{-u}-2u
Dễ thấy hàm số g(u) đồng biến trên \mathbb{R}.
Do đó u = 0 là nghiệm duy nhất của g(u)=0, dẫn đến (3) có nghiệm duy nhất
x = 1.
Từ đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất là \left( {1; - \frac{1}{2}} \right).
0 comments:
Đăng nhận xét