$\begin{cases} 4 + 9.3^{x^2 - 2y} = (4 + 9^{x^2 - 2y} ).7^{2y - x^2 + 2} \\ 4^x + 4 = 4x + 4\sqrt {2y - 2x + 4} \end{cases}$

Giải hệ phương trình sau :  

$$ \begin{cases} 4 + 9.3^{x^2 - 2y} = (4 + 9^{x^2 - 2y} ).7^{2y - x^2 + 2} \\ 4^x + 4 = 4x + 4\sqrt {2y - 2x + 4} \end{cases} $$      

Giải  

ĐK : $y - x + 2 \ge 0$.

Đặt $t = x^2  - 2y$, khi đó 

$$\begin{align*} (1) & \Leftrightarrow 4 + 3^{t + 2}  = (4 + 9^t ).7^{2 - t} \\ & \Leftrightarrow \frac{{4 + 3^{t + 2} }}{{7^{t + 2} }} = \frac{{4 + 3^{2t} }}{{7^{2t} }} \\& \Leftrightarrow f(t + 2) = f(2t) \end{align*}$$

trong đó 

$$f(t) = \frac{{4 + 3^t }}{{7^t }} = 4\left( {\frac{1}{7}} \right)^t  + \left( {\frac{3}{7}} \right)^t $$

Dễ thấy $f(t)$ làm hàm số nghịch biến. Do đó 

$$f(t + 2) = f(2t) \Leftrightarrow t + 2 = 2t \Leftrightarrow t = 2$$

hay $x^2  - 2y = 2$.

Thay vào (2) ta được

$$4^x + 4 = 4x + 4\sqrt {x^2 - 2 - 2x + 4} \Leftrightarrow 4^{x - 1} = x - 1 + \sqrt {(x - 1)^2 + 1} $$

Đặt $u=x-1$, ta có:

$$\begin{cases}4^u=u+\sqrt{u^1+1} \\4^{_u}=u-\sqrt{u^1+1}\end{cases}$$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta có:

$$4^u+4^{-u}=2u \quad (3)$$

Xét hàm số 

$$g(u)=4^u+4^{-u}-2u$$

Dễ thấy hàm số $g(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó $u = 0$ là nghiệm duy nhất của $g(u)=0$, dẫn đến (3) có nghiệm duy nhất 

$x = 1$.

Từ đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)$.