Tìm min $P=\frac{1}{a^4+a^2b^2}+\frac{1}{b^4+a^2b^2}+\frac{32}{(1+c)^3}$

Bài toán
Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện:
$$a^2+b^2+c^2=1$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=\frac{1}{a^4+a^2b^2}+\frac{1}{b^4+a^2b^2}+\frac{32}{(1+c)^3}$$

Giải
Ta có:
$$\frac{1}{a^4+a^2b^2}+\frac{1}{b^4+a^2b^2} = \frac{1}{a^2b^2}$$
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
$$1-c^2=a^2+b^2 \geq 2ab$$
Do đó:
$$\frac{1}{a^2b^2} \geq \frac{4}{1-c^2}$$
Vậy:
$$P \geq \frac{32}{(1+c)^3}+ \frac{4}{1-c^2} = f(c)$$
Khảo sát hàm số $f(c)$ trên $(0;1) \cup (1; + \infty)$ ta có:
$$\min f(c) = f\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{448}{27}$$
Vậy 
$$\min P = \frac{448}{27}$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{\sqrt{6}}{4},c=\frac{1}{2}$.