$\begin{cases}xy+2=y\sqrt{x^2+2} \\ y^2+2(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=2x^2-4x\end{cases}$

Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases}xy+2=y\sqrt{x^2+2} \\ y^2+2(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=2x^2-4x\end{cases}$$

Giải
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
$$y \left( \sqrt{x^2+2} -x \right) = 2 \Leftrightarrow y = \sqrt{x^2+2} + x$$
Từ đó suy ra:
$$y^2 = 2x^2 + 2x\sqrt{x^2+2} + 2$$
Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
$$x\sqrt{x^2+2}+x = -(x+1)\sqrt{(x+1)^2+2}-(x+1) \quad \quad (1)$$
Xét hàm số
$$f(t) =t\sqrt{t^2+2}+t$$
Dễ thấy hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó:
$$(1) \Leftrightarrow f(x) = f(-x-1) \Leftrightarrow x =- \frac{1}{2}$$


Vậy $\left(-\frac{1}{2};1\right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình