Hình chữ nhật 1

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A(5; - 7)$, điểm $C$ nằm trên đường thẳng có phương trình: $(d_1):x - y + 4 = 0$ . Đường thẳng đi qua đỉnh $D$ và trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có phương trình: $(d_2): 3x - 4y - 23 = 0$. Tìm tọa độ của $B$ và $C$ biết điểm $B$ có hoành độ dương.

Giải

Gọi $E$ là giao điểm của $AC$ và $(d_2)$. Dễ thấy: $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AE}$

Giả sử $E(4e+1;3e-5) \in (d_2), C(c;c+4) \in (d_1)$, ta có:

$$\left\{\begin{matrix}c-12e=-7\\c-9e=-5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=1\\e=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$$

Từ đó $E\left ( \frac{11}{3};-3 \right ), C(1;5)$. 

Đường thẳng đối xứng với $(d_2)$ qua tâm $I(3;-1)$ của hình chữ nhật có phương trình:

$$(d):3x-4y-3=0$$

Đường tròn đường kính $AC$ có phương trình:

$$(x-3)^2+(y+1)^2 = 40$$

Giao điểm của đường tròn trên và $(d)$ có hoành độ dương chính là điểm $B$