Tìm Max, Min của $T=x^2+y^2-xy$.

Bài toán: 

Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $\begin{cases} x+y\leq 2 \\ x^2+y^2+xy=3 \end{cases}$.

Tìm Max, Min của $T=x^2+y^2-xy$.

Giải

Từ giả thiết dễ thấy $xy \neq 0$. Không giảm tổng quát, ta giả sử $y \neq 0$, đặt $t = \frac{x}{y} > 0$. Ta có:

$$\frac{T}{3}=\frac{x^2+y^2-xy}{x^2+y^2+xy}=\frac{t^2-t+1}{t^2+t+1}$$

Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $T$ bằng phương pháp miền giá trị.

$$\frac{T}{3}=\frac{t^2-t+1}{t^2+t+1}\Leftrightarrow (T-3)t^2+ (T+3)t + T-3 = 0, \text{(*)}$$

Xem $(*)$ là phương trình ần $t$. Với $T\neq 3$, điều kiện cần và đủ để $(*)$ có nghiệm dương là:

$$\begin{cases}\Delta = (T+3)^2 - 4(T-3)^2 \geq 0 \\ -\frac{T+3}{T-3} > 0 \end{cases}.\Leftrightarrow 1 \leq T < 3$$

Vậy

$$\min T = T(1;1) = 1$$

$\max T$ không tồn tại.