Viết PTĐT $d$ đi qua $A$ sao cho: $d_{(B,d)} + d_{(C,d)}$ lớn nhất.

Bài toán:

Cho các điểm $A(1;1), B (2;5), C(4;7)$. Chứng minh tam giác $ABC$ có góc $A$ nhọn. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ sao cho: $d_{(B,d)} + d_{(C,d)}$ lớn nhất.

Giải

Đường thẳng đi qua $A$ và không có hệ số góc là: $d_0: x=1$. Ta có:

$$d_{(B,d_0)} = 1;d_{(C,d_0)} = 3$$

Đường thẳng đi qua $A$, với hệ số góc $k$ có phương trình: $d: kx-y-k=0$. Ta có:

$$d_{(B,d)} = \frac{|k-5|}{\sqrt{k^2+1}};d_{(C,d)} = \frac{|3k-7|}{\sqrt{k^2+1}}$$

Ta có: $d_{(B,d_0)} +d_{(C,d)} = 4$. Mặt khác

$$\begin{align*}f(k)&=d_{(B,d)} +d_{(C,d)}\\ &= \frac{|k-5|+|3k-7|}{\sqrt{k^2+1}} \\& =\left\{\begin{matrix}\dfrac{12-4k}{\sqrt{k^2+1}} & khi & k < \dfrac{7}{3}\\ \dfrac{2k-2}{\sqrt{k^2+1}} & khi & \dfrac{7}{3} \leq k < 5\\ \dfrac{4k-12}{\sqrt{k^2+1}} & khi & k \geq 5 \end{matrix}\right.\end{align*}$$

Lập bảng biến thiên của hàm số $f(k)$

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

$$\max f(k) = f\left(-\frac{1}{3} \right) = 4\sqrt{10} > 4 $$

Do đó, phương trình đường thẳng cần tìm là:

$$y= -\frac{1}{3}x +\frac{1}{3}$$