Viết PT $d$ qua $O,d \perp \Delta_1, d_{(d,\Delta)}$ lớn nhất

Bài toán: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{-1}$ và đường thẳng $\Delta_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1}$. Lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O$ vuông góc với $\Delta_1$ và cách $\Delta$ một khoảng lớn nhất.

Giải

Gọi $(P)$ là đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta_1$

$\Delta$ và $d$ không thể song song, cắt nhau hoặc trùng nhau. Do đó chúng chéo nhau.

Gọi $(Q)$ là mặt phẳng đi qua $O$, song song với $\Delta$, sao cho khoảng cách giữa $\Delta$ và $(Q)$ lớn nhất. $d$ chính là giao điểm của $(P)$ và $(Q)$.

Gọi $A$ là hình chiếu của $O$ lên đường thẳng $\Delta$. Mặt phẳng $(Q)$ chính là mặt phẳng đi qua $O$ và vuông góc với $OA$. Thật vậy, giả sử có một mặt phẳng $(Q')$ đi qua $O$ và song song với $\Delta$, hình chiếu của $A$ lên $(Q')$ là $H$. Khi đó, 

$$d_{((\Delta),(Q'))}=d_{(A,(Q'))} = AH < AO =d_{((\Delta),(Q))}$$

Vậy đường thẳng cần tìm, cùng lúc vuông góc cả với $\Delta$ và $\Delta_1$ nên có vector chỉ phương: $(4;3;2)$. Ta có phương trình đường thẳng:

$$\left \{\begin{matrix} x=4t\\y=3t \\ z=2t \end{matrix}\right.$$