Viết PT đường thẳng qua $M(3;1)$ ...

Viết phương trình đường thẳng đi qua $M(3;1)$ cắt $Ox, Oy$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho:

a) $OA+OB$ nhỏ nhất

b) Diện tích tam giác $OAB$ nhỏ nhất 

c) $\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}$ nhỏ nhất.

Giải

Giả $A\left( \frac{1}{a};0\right), B\left( 0; \frac{1}{b}\right)$. Phương trình đường thẳng $d$ cần tìm có dạng:

$$ax+by=1$$

Vì $M(3;1) \in d$ nên:

$$3a+b=1  \Leftrightarrow b = 1 - 3a$$

a) Ta có:

$$OA + OB = \left| {\frac{1}{a}} \right| + \left| {\frac{1}{b}} \right| \ge \left| {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right| = \left| {\frac{{3a + b}}{a} + \frac{{3a + b}}{b}} \right| = \ge 4 + 2\sqrt 3$$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{3-\sqrt 3}{6};b=\frac{3\sqrt{3}-3}{6}$. Do đó phương trình cần tìm là:

$$\left(3-\sqrt 3\right )x+ \left(3\sqrt 3 - 3\right )y=6$$

b) Ta có:

$$S_{OAB}  = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {\frac{1}{{ab}}} \right| \ge \frac{1}{2}.\frac{1}{{ab}} \ge 6$$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{1}{6};b=\frac{1}{2}$. Do đó phương trình cần tìm là:

$$x+3y=6$$

c) Ta có:

$$\frac{1}{{OA^2 }} + \frac{1}{{OB^2 }} = a^2  + b^2  \ge \frac{{(3a + b)^2 }}{{3^2  + 1}} = \frac{1}{{10}}$$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{3}{10};b=\frac{1}{10}$. Do đó phương trình cần tìm là:

$$3x+y=10$$