Biết $SG=kSG'$. Hỏi $k$?

Cho hình chóp $S.ABC$, lấy $A'$ trên $SA$ sao cho $SA=3SA'$, $B',C'$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$. $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Gọi $G'$ là giao của $SG$ với $(A'B'C')$. Biết $SG=kSG'$. Hỏi $k$?

Giải

Điểm $D$ không liên quan gì đến bài toán cả.

Cách 1.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC, SH \cap B'C' = F, A'F \cap SG = G'$.

Dễ thấy $F$ là trung điểm $SH$. 

Giả sử $A'F \cap AH = I$, đường thẳng đi qua $S$ và song song với $A'F$, cắt $AH$ tại $J$.

Khi đó: $HI=IJ, AJ=3IJ$. Suy ra: $AH=HI=IJ=3GH$. Vậy:

$$k=\frac{SG}{SG'} = \frac{GJ}{IJ} = \frac{GH+HI+IJ}{IJ} = \frac{7}{3}$$

Cách 2.

Đặt $\overrightarrow {SA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {SB}  = \overrightarrow b ;\overrightarrow {SC}  = \overrightarrow c $ 

Giả sử: $\overrightarrow {SG'}  = k\overrightarrow {SG} ,\overrightarrow {A'G'}  = m\overrightarrow {A'B'}  + n\overrightarrow {A'C'} $

Khi đó ta có:

$$\overrightarrow {SG'}  =k\overrightarrow {SG} = \frac{k}{3}\overrightarrow a  + \frac{k}{3}\overrightarrow b  + \frac{k}{3}\overrightarrow c $$

$$\overrightarrow {SG'}  = \overrightarrow{SA'} + \overrightarrow{A'G'} = \left( \frac{1}{3} - \frac{m}{3} - \frac{n}{3} \right) \overrightarrow a + \frac{m}{2} \overrightarrow b + \frac{n}{2} \overrightarrow b $$

Do đó:

\[ \left\{ \begin{array}{l}  \frac{1}{3} - \frac{m}{3} - \frac{n}{3} = \frac{k}{3} \\   \frac{m}{2} = \frac{k}{3} \\   \frac{n}{2} = \frac{k}{3}  \end{array} \right. \]

Giải hệ tìm được $k$