Tìm GTLN của: $\frac{S}{2S+P+2}$

Bài toán: 

Xét các hình chữ nhật có cùng một chu vi $P$ và diện tích thay đổi $S$. Tìm GTLN của: $\frac{S}{2S+P+2}$

Giải

Vì $S=xy, P=2(x+y)=const$ nên: 

$$0 < S \leq \frac{P^2}{16}$$

Bài toán trở thành tìm GTLN của hàm số:

$$f(S) = \frac{S}{2S+P+2}$$

trên $K=\left( 0; \frac{P^2}{16} \right]$

Ta có:

$$f'(S)= \frac{P+2}{(2S+P+2)^2} > 0, \forall S$$

Vậy hàm số $f(S)$ đồng biến trên $K$. Do đó:

$$\max_{K} f(S) =f \left(\frac{P^2}{16} \right)$$