Tìm $A,B,C$ biết trực tâm $H$, trung điểm $BC$, đường cao $AH$, đường thẳng đi qua hai chân đường cao

Bài toán

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H(3;0)$ và trung điểm $BC$ là $I(6;1)$. Đường thẳng $AH:x+2y-3=0$. Gọi $D, E$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC$. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$, biết đường thẳng $DE: x-2=0$ và điểm $D$ có tung độ dương. 

Hướng dẫn

Gọi $K$ là trung điểm $AH$. Dễ thấy $ADHE$ nội tiếp đường tròn tâm $K$, còn $BCDE$ nội tiếp đường tròn tâm $I$. Do đó $IK \perp DE$.

Vậy ta viết được phương trình $KI$.

Từ đó tìm được $K$ và $A$

Tìm được $D,E$ bằng các xét giao điểm của $DE$ với đường tròn tâm $K$.

Viết phương trình các đường $BC,DH,EH$.

Từ đó tìm được $B,C$