Bài toán:
Hãy giúp công ty sữa ông thọ thiết kế 1 lon sữa hình trụ bằng thiếc sao cho tỉ lệ thiếc cần dùng và thể tích lon là tối ưu nhất
Giải
Ta cần tìm hình trụ có diện tích toàn phần nhỏ nhất trong số các hình trụ có cùng thể tích.
Cách 1.
Xét hình trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$. Khi đó, bài toán trở thành tìm GTNN của biểu thức:
$$P=2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi (r^2+rh)$$
Biết rằng $\pi r^2h =\pi, r > 0, h >9$.
Đặt $h=\frac{r}{x^3}$, ta có:
$$r^2h=1\Leftrightarrow \frac{r^3}{x^3}=1\Leftrightarrow r=x$$
Khi đó:
$$P=2\pi (r^2+rh)=2\pi\left (x^2+\frac{1}{x} \right )=2\pi f(x)$$
Ta có
$$f'(x)= 2x - \frac{1}{x^2}; f'(x)=0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$$
Dễ thấy $f(x)\geq f\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right ),\forall x \in (0; +\infty)$
Vậy diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất khi: $h=2r$. tức là thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông.
Cách 2
Ta biết, thiết diện qua trục của hình trụ là 1 hình chữ nhật. Chu vi của hình chữ nhật, khi quay quanh trục, cho ta diện tích toàn phần của hình trụ còn diện tích hình chữ nhật, khi quay quanh trục, cho ta thể tích khối trụ.
Do đó, bài toán đã cho tương đương bài toán tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có cùng diện tích. Đáp án của bài toán này là hình vuông.
Câu hỏi: Tại sao, trong thực tế, thiết diện qua trục của lon sữa Ông Thọ lại không phải là hình vuông?
0 comments:
Đăng nhận xét