Đề thi HSG môn toán 10 THPT Pác Khuông năm học 2012 - 2013

SỞ GDĐT LẠNG SƠN TRƯỜNG THPT PÁC KHUÔNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10  NĂM HỌC 2012- 2013

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I (3 điểm)

1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số $y = \frac{x}{\sqrt {10 - x}} - \frac{x}{\sqrt {10 + x}}$
2) Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{{h_a }} + \frac{1}{{h_b }} + \frac{1}{{h_c }} = \frac{1}{r}$$
( Trong đó: $h_a,h_b,h_c$ lần lượt là đường cao hạ từ các đỉnh $A, B, C$ và $r$ là tâm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$).

Câu II (4 điểm)

1) Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất: $mx^2 + 2(m-1)x – 2 = 0$.

2) Giải và biện luận (theo tham số $m$) bất phương trình:  $\frac{{\left( {m - 1} \right)x + 2}}{{x - 2}} < m + 1$

Câu III (5 điểm)

1) Giải phương trình: $x^2 - 7x + 8 = 2\sqrt x$

2) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}  \sqrt {7x + y}  + \sqrt {2x + y}  = 5 \\  x - y + \sqrt {2x + y}  = 1.  \end{array} \right.$

Câu IV (6 điểm)
1) Cho 4 điểm bất kì $A,B,C,D$ và $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BC}  = 4\overrightarrow {MN}$
2) Cho tam giác $ABC$. Trên các cạnh $BC, CA$ và $AB$ của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm $A',B'$ và $C'$ Gọi $S_A,S_B,S_C$ và $S$ tương ứng là diện tích của các tam giác $AB'C', BC'A', CA'B'$ và $ABC$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\sqrt {S_a }  + \sqrt {S_b }  + \sqrt {S_c }  \le \frac{3}{2}\sqrt S .$$

 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?

Câu V (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R (R > 0, R$  không đổi). Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng $AB$ luôn tiếp xúc với đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm $A, B$ để tam giác $OAB$ có diện tích nhỏ nhất.