Mối quan hệ giữa số cực trị và số nghiệm của hàm đa thức

 Mệnh đề. Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ bậc $n$. Nếu $f(x)$ có đúng $n$ nghiệm phân biệt thì nó có đúng $n-1$ cực trị. 

Chứng minh: Vì $y=f(x)$ là hàm đa thức nên nó liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$.

Giả sử $y=f(x)$ có $n$ nghiệm phân biệt là $x_1<x_2<...<x_n$. Ta chứng minh trong khoảng $(x_1;x_2)$, hàm số có ít nhất 1 cực trị. Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $(x_1;x_2)$, $f(x_1)=f(x_2)=0$ và $f(x) \neq 0, \quad \forall x \in (x_1;x_2)$ nên tồn tại ít nhất một hằng số $c \in (x_1;x_2)$ sao cho trong hai khoảng $(x_1;c), (c;x_2)$, hàm số  $f(x)$ đồng biến trong khoảng này và nghịch biến trong khoảng kia. (nếu không, hàm số đơn điệu 1 chiều trên $(x_1;x_2)$ thì $f(x_1) \neq f(x_2)$).

Vậy $x=c$ là một cực trị của hàm số $y=f(x)$

Từ đó suy ra hàm số $y=f(x)$ có ít nhất $n-1$ cực trị. 

Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$ nên mỗi cực trị là nghiệm của $f'(x)=0$. Nhưng $f'(x)=0$ là đa thức có bậc $n-1$ nên có tối đa $n-1$ nghiệm. 

Vậy $f(x)$ có đúng $n-1$ cực trị

Hệ quả:  Nếu hàm số đa thức có $m$ nghiệm bội chẵn và $n$ nghiệm bội lẻ thì nó có đúng $2m+n-1$ cực trị.