[Đấu trường VMF 2011]. Trận 1: ALPHA - BETA

Như vậy là trận đấu thứ nhất giữa hai đội ALPHA và BETA đã bắt đầu. Dưới đây là đề giữa hai đội.

ĐỀ THI CỦA BETA

Câu 1 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 và 4 thì $latex 3^{n} + 63$ không là số chính phương

Câu 2: Cho tam giác ABC với diện tích S. Trên AB; BC; CA đồng thời lấy C'; A'; B' sao cho:

$latex AC^{'} = BC^{'}; \dfrac{BA^{'}}{A^{'} C} = \dfrac{1}{2}; \dfrac{CB^{'}}{B^{'} A} = \dfrac{1}{3}$

AA' cắt BB' tại M; BB' cắt CC' tại N; AA' cắt CC' tại P.
Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích S.

Câu 3 : Cho tam giác vuông cân ABC có BC = AC. Đường phân giác AM cắt BC tại M. Chứng minh đẳng thức: MB = 2r
(với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam gíac ABC)

Câu 4: Cho ba số nguyên không âm bất kì a ; b ; c. Mỗi 1 bước ta biến bộ (a;b;c) thành bộ (|b-c|; |c-a|; |a-b|). Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các bước, ta sẽ thu được 1 bộ có chứa số 0.

Câu 5. Giải hệ gồm 2 phương trình sau :

$latex y^4 - 4y^3 -16y^2 -8xy -4x^2 + 32y + 64 = 0$
$latex \sin(5 \pi x) - \sqrt{ x(x-6) + 13} \cos\left [ \pi \left ( y^{2}+2x+\dfrac{1}{2} \right ) \right ]+ \sin\left ( \pi \left ( 2y^{2} -x\right ) \right ) =0$

Câu 6: Cho dãy $latex \left \{ u_n \right \}$ là dãy số xác định như sau :

$latex u_0= 0 ; u_n = \dfrac{u_{n-1}}{2011} + \left ( -1 \right )^{n} \forall n \geq 1$

Tìm $latex \lim u_{n}^{2}$

ĐỀ THI CỦA ALPHA

Câu 1: Xét các số thực a;b;c sao cho pt $latex ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm thuộc đoạn [0;1]. Tìm GTLN của biểu thức

$latex P = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\left( {2a - b} \right)}}{{a\left( {a - b + c} \right)}}$

Câu 2: Giả sử AD,BE,CF là 3 đường cao của tam giác ABC. Gọi: G, P lần lượt là hình chiếu của D lên AB, AC; I , K lần lượt là hình chiếu của E lên AB, BC; M, N lần lượt là hình chiếu của F lên AC, BC. Chứng minh rằng 6 điểm G, P, I, K, M, N cùng nằm trên 1 đường tròn.

Câu 3: Giải hệ phương trình:

$latex \left\{ \begin{gathered} 1 + {x^2}{y^2} = 19{x^2} \\ x{y^2} + y = - 6{x^2} \\ \end{gathered} \right.$

Câu 4: Cho hàm số $latex y = \dfrac{{{m^2}x + 4m}}{{mx + 1}}$ có đồ thị là (Cm­). Trên (Cm) xét hai điểm $latex A(x_a; y_a); B(x_b ; y_b)$ ($latex xa, xb$ là các hằng số cố định cho trước). Gọi $latex d1, d2$ tương ứng là độ dài đoạn thẳng AB khi m = 2, m = 8. Hãy tính tỉ số $latex T = \dfrac{{{d_1}}}{{{d_2}}}$

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại đều bằng 1. Tìm x để thể tích tứ diện đạt GTLN. Tìm giá trị đó.

Câu 6:
Cho $latex {a_1};{a_2};...;{a_n};{b_1};{b_2};...;{b_n}$là các số thực thuộc đoạn [2012;4024] thỏa mãn:

$latex \sum\limits_{k = 1}^n {a_k^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {b_k^2}$

Chứng minh rằng:

$latex \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{a_k^3}}{{{b_k}}}} \leqslant \dfrac{{17}}{{10}}\sum\limits_{k = 1}^n {a_k^2}$

Bạn có thể vào địa chỉ: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=63590 để xem hai đội thi đấu.