Loading web-font TeX/Math/Italic

[Đấu trường VMF 2011]. Trận 1: ALPHA - BETA

Thứ Ba, 11 tháng 10, 2011

Như vậy là trận đấu thứ nhất giữa hai đội ALPHA và BETA đã bắt đầu. Dưới đây là đề giữa hai đội.

ĐỀ THI CỦA BETA

Câu 1 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 và 4 thì latex 3^{n} + 63 không là số chính phương

Câu 2: Cho tam giác ABC với diện tích S. Trên AB; BC; CA đồng thời lấy C'; A'; B' sao cho:

latex AC^{'} = BC^{'}; \dfrac{BA^{'}}{A^{'} C} = \dfrac{1}{2}; \dfrac{CB^{'}}{B^{'} A} = \dfrac{1}{3}

AA' cắt BB' tại M; BB' cắt CC' tại N; AA' cắt CC' tại P.
Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích S.

Câu 3 : Cho tam giác vuông cân ABC có BC = AC. Đường phân giác AM cắt BC tại M. Chứng minh đẳng thức: MB = 2r
(với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam gíac ABC)

Câu 4: Cho ba số nguyên không âm bất kì a ; b ; c. Mỗi 1 bước ta biến bộ (a;b;c) thành bộ (|b-c|; |c-a|; |a-b|). Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các bước, ta sẽ thu được 1 bộ có chứa số 0.

Câu 5. Giải hệ gồm 2 phương trình sau :

latex y^4 - 4y^3 -16y^2 -8xy -4x^2 + 32y + 64 = 0
latex \sin(5 \pi x) - \sqrt{ x(x-6) + 13} \cos\left [ \pi \left ( y^{2}+2x+\dfrac{1}{2} \right ) \right ]+ \sin\left ( \pi \left ( 2y^{2} -x\right ) \right ) =0

Câu 6: Cho dãy latex \left \{ u_n \right \} là dãy số xác định như sau :

latex u_0= 0 ; u_n = \dfrac{u_{n-1}}{2011} + \left ( -1 \right )^{n} \forall n \geq 1

Tìm latex \lim u_{n}^{2}

ĐỀ THI CỦA ALPHA

Câu 1: Xét các số thực a;b;c sao cho pt latex ax^2+bx+c=0 có 2 nghiệm thuộc đoạn [0;1]. Tìm GTLN của biểu thức

latex P = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\left( {2a - b} \right)}}{{a\left( {a - b + c} \right)}}

Câu 2: Giả sử AD,BE,CF là 3 đường cao của tam giác ABC. Gọi: G, P lần lượt là hình chiếu của D lên AB, AC; I , K lần lượt là hình chiếu của E lên AB, BC; M, N lần lượt là hình chiếu của F lên AC, BC. Chứng minh rằng 6 điểm G, P, I, K, M, N cùng nằm trên 1 đường tròn.

Câu 3: Giải hệ phương trình:

latex \left\{ \begin{gathered} 1 + {x^2}{y^2} = 19{x^2} \\ x{y^2} + y = - 6{x^2} \\ \end{gathered} \right.

Câu 4: Cho hàm số latex y = \dfrac{{{m^2}x + 4m}}{{mx + 1}} có đồ thị là (Cm­). Trên (Cm) xét hai điểm latex A(x_a; y_a); B(x_b ; y_b) (latex xa, xb là các hằng số cố định cho trước). Gọi latex d1, d2 tương ứng là độ dài đoạn thẳng AB khi m = 2, m = 8. Hãy tính tỉ số latex T = \dfrac{{{d_1}}}{{{d_2}}}

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại đều bằng 1. Tìm x để thể tích tứ diện đạt GTLN. Tìm giá trị đó.

Câu 6:
Cho latex {a_1};{a_2};...;{a_n};{b_1};{b_2};...;{b_n}là các số thực thuộc đoạn [2012;4024] thỏa mãn:

latex \sum\limits_{k = 1}^n {a_k^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {b_k^2}

Chứng minh rằng:

latex \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{a_k^3}}{{{b_k}}}} \leqslant \dfrac{{17}}{{10}}\sum\limits_{k = 1}^n {a_k^2}

Bạn có thể vào địa chỉ: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=63590 để xem hai đội thi đấu.

0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.