Đề thi HSG tỉnh Lạng Sơn lớp 11 năm 2010-2011

  Ngày thi 29/03/2011

Câu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} 2x^2y^2+x^2+2x=2\\2x^2y-x^2y^2+2xy=1 \end{matrix}\right.$$

Câu 2 (4 điểm) Giải phương trình:
$$9sin2x-3sin4x+2cos3x-6sinx-4cosx+2=0$$

Câu 3 (4 điểm)Cho dãy số $(x_n)$ xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix} x_1=1 \\ x_{n+1} = x_n^2 + 3x_n + 1, \forall n \geq 1 \end{matrix}\right.$$
Đặt $S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k+2}$. Tính $lim S_n$

Câu 4 (4 điểm) Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=a,AD=AA'=2a$, gọi $M, E$ lần lượt là trung điểm $AB, C'D'$, còn $K$ là điểm đối xứng với $A'$ qua $B$.
a) Tính độ dài $KE$
b) Cho $P$ thuộc $AC$, $Q$ thuộc $C'D$ thỏa mãn $PQ // MC'$. Tính tỉ số $\frac{PA}{PC}$

Câu 5 (4 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$P = \frac{x^3y^3}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^2}$$
Trong đó $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+1=z$