Đề bài: Có bao nhiêu tam giác có độ dài các cạnh là các số tự nhiên không vượt quá 2n
Giải
Ta cần tìm bộ (a,b,c) không kể thứ tự thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) 0 < a,b,c \leq 2n
ii) a+b>c,a+c>b,b+c>a
Ta làm như sau:
Chọn số i (i =1,2,...,2n) làm cạnh a. Khi đó, số bộ (a,b,c) (có tính thứ tự) thỏa mãn điều kiện b,c \leq a=i là i^2. Trong đó:
- Số bộ (i,b,c) (có tính thứ tự) thỏa mãn: b+c \leq a = i là: C_i^2, tạm quy ước rằng C_1^2 = 0,
Ở trên, hai bộ số (i,b,c) và (i,c,b) là 1 tam giác nhưng lại được tính 2 lần. Lát nữa, ta sẽ ghép chúng thành cặp và chia đôi.
- Số bộ (i,b,c) thỏa mãn b=c > \frac{a}{2} = \frac{i}{2} là \left [ \frac{i+1}{2} \right ]
Từ đó số tam giác có các cạnh không vượt quá i là:
\frac{i^2 - C^2_i + \left [ \frac{i+1}{2} \right ]}{2}
Vậy số tam giác cần tìm là:
S=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2n} \left (i^2 - C^2_i + \left [ \frac{i+1}{2} \right ] \right )
Ta có:
\sum_{i=1}^{2n} i^2 = \frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}
\sum_{i=1}^{2n} C^2_i =\sum_{i=1}^{2n} \frac{i(i-1)}{2}=\frac{n(4n^2-1)}{3}
\sum_{i=1}^{2n} \left [ \frac{i+1}{2} \right ] = 2\sum_{i=1}^{n} i = n(n+1)
Do đó:
S=\frac{1}{2}\left (\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}-\frac{n(4n^2-1)}{3}+n(n+1) \right )
= \frac{4n^3+9n^2+5n}{6}
Đóng góp cho thầy Thế một cách khác
Đầu tiên ta sắp xếp các cạnh tam giác theo thứ tự, ta có 1\leq a\leq b\leq c \leq 2n
Từ đây ta có bất đẳng thức 1\leq a<b+1<c+2\leq 2n+2
Theo tính chất tổ hợp ta đếm được A=C_{2n+2}^3=\dfrac{n(n+1)(8n+4)}{6} bộ (a,b,c) thỏa mãn điều đó.
Tuy nhiên ta phải loại từ những bộ này những trường hợp không thỏa điều kiện lập thành tam giác, đó là những bộ thỏa mãn
\begin{cases}a+b\leq c\leq 2n\\ 1\leq a\leq b\end{cases}\quad (1)
Dễ thấy hệ \begin{cases}a+b= c\\ 1\leq a\leq b\end{cases} có \left\lfloor\dfrac{c}{2}\right\rfloor nghiệm.
Từ đó suy ra số nghiệm của (1) là
\begin{align*}B&=\sum_{c=1}^{2n}\sum_{k=1}^c \left\lfloor\dfrac{k}{2}\right\rfloor\\ &=\sum_{c=1}^{2n}\left\lfloor\dfrac{c^2}{4}\right\rfloor\\ &=\sum_{k=1}^n k^2+\sum_{k=0}^{n-1}(k^2+k)\\ &=\dfrac{n(n+1)(4n-1)}{6}\end{align*}
Từ đó số bộ tam giác tạo được là A-B=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}