Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Bình Định năm học 2012-2013

Ngày thi: 18/3/2013. Thảo luận tại đây

Câu 1:

a) Giải phương trình: $$2(x^2-3x+2)=3 \sqrt{x^3+8}$$          

b) Cho $a,b,c,d,e,f$ nguyên dương. Đặt $S=a+b+c+d+e+f; Q=ab+bc+ca-de-ef-fd; R=abc+def$.

 Biết rằng $S | Q$ và $S | R$. Chứng minh rằng $S$ là hợp số.

Câu 2:

a) 3 góc $x,y,z$ thỏa $0 \le x \le y \le z \le 2\pi$ và thỏa: $\cos x + \cos y + \cos z = \sin x + \sin y + \sin z=0$.             

b) Cho dãy ${u_n}$ xác định: $$u_1=1; u_{n+1}=1+u_1u_2...u_{n}$$ Đặt $S_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{u_k}$ . Tìm $\lim S_n$.

Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thang $(AD//BC)$ và $AD=2BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB$. Mặt phẳng $(DMN)$ cắt $SC$ tại $P$. Tính tỉ số $\frac{CP}{CS}$.

Câu 4: Trong $\Delta ABC$, $M$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống đường phân giác trong của góc $\angle BCA$. $N,L$ lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ các đỉnh $A,C$ xuống đường phân giác trong của góc $\angle ABC$. Gọi $F$ là giao điểm của các đường thẳng $MN$ và $AC$, $E$ là giao điểm của các đường thẳng $BF$ và $CL$, $D$ là giao điểm của $BL$ và $AC$. Chứng minh rằng: $DE // MN$.

Câu 5: Cho hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{N}^{*}$ với $f(1)=2$ thỏa: $$(1+[f(n)]^2).f(n+1)=[f(n)]^2$$ Chứng minh rằng $f(n) \le 1, \forall n>2014$.