Đề thi HSG lớp 11 TP Đà Nẵng năm học 2012 - 2013

Thời gian: 150 phút. Thảo luận tại đây

Câu I (2 điểm)
1)Giải $(2cosx-1)(2sin2x+1)+4.sin\frac{3x}{2}sin\frac{x}{2}=1$
2)Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y=cosx+cos2x-sin^{2}x$

Câu II (2 điểm)
1) Tính $lim(\frac{n}{n^{2}+1}+\frac{n}{n^{2}+2}+..+\frac{n}{n^{2}+n})$
2) Cho dãy $(u_{n})$ với $u_{1}=1$ và $u_{n}=\frac{u_{n-1}}{\sqrt{3.u_{n-1}^{2}+1}}$. Tìm $limu_{n}$

Câu III (2 điểm)
1) Viết ngẫu nhiên mốt số có 5 chữ số khác nhau từ các phần tử của tập hợp $E={1,2,3,4,5,6,7}$. Tính xác suất để số viết được có chữ số ở hàng đơn vị, hàng chục nghìn phải là các chữ số lẻ và các chữ số ở hàng nghìn,hàng trăm, hàng chục tăng dần theo thứ tự từ trái sang phải
2) Cho số nguyên dương $n$ và số nguyên $k$ với $0\leq k\leq n$. Chứng minh:
$$\frac{C_{n}^{0}}{C_{n+2}^{1}}+\frac{C_{n}^{1}}{C_{n+3}^{2}}+..+\frac{C_{n}^{k}}{C_{n+k+2}^{k+1}}+..+\frac{C_{n}^{n}}{C_{2n+2}^{n+1}}=\frac{1}{2}$$

Câu IV (3 điểm)
1) Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ canh $a$ và có tâm $O$. Gọi $(P)$ là mặp phẳng qua $O$ và song song với $(A'BD)$. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng $(P)$
2) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Trên các đoạn$SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$. Mặt phẳng $(A'B'C')$ cắt $SD$ tại $D'$. Gọi I là giao điểm của $A'C'$ và $SO$. Chứng minh $\frac{SB}{SB'}+\frac{SD}{SD'}=2.\frac{SO}{SI}$

Câu V(1 điểm)
Cho 2 số thực $x,y$ thỏa $x+y+25=8(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-5})$
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức $P=\sqrt{(x-1)(y-5)}$