Nguyên hàm $\int \frac{1+x^2\ln x}{x + x^2\ln x}dx$

Bài toán: Tìm nguyên hàm:

$$I=\int \frac{1+x^2\ln x}{x + x^2\ln x}dx$$

Giải (Mrnhan của VMF)

Ta có:

$\begin{matrix}\int \frac{1+x^2\ln x}{x + x^2\ln x}dx & =&\int \left (1+\frac{1-x}{x + x^2\ln x} \right )dx\\ \\ &=&x-\int \frac{1}{\frac{1}{x}+\ln x}.\frac{x-1}{x^2}dx\\ \\ &=&x-\int \frac{1}{\frac{1}{x}+\ln x}d\left ( \frac{1}{x}+\ln x \right )\\ \\ &=&x-\ln\left ( \frac{1}{x}+\ln x \right )+C\\ \end{matrix}$