Bài toán: Tính tích phân:
$$I=\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x+\sqrt{x^2+1}}dx$$
Giải
Đặt $\sqrt{x^2+1}=x+t$ ta có:
$$1 = 2xt+t^2\Rightarrow x=\frac{1-t^2}{2t}\Rightarrow dx = -\frac{t^2+1}{2t^2}dt$$
Khi đó:
$$\int \frac{1}{1+x+\sqrt{x^2+1}}dx=-\int \frac{1}{1+\frac{1-t^2}{t}+t}.\frac{t^2+1}{2t^2}dt$$
$$=-\frac{1}{2}\int \frac{t^2+1}{t^2+t}dt$$
Mà:
$$\frac{t^2+1}{t^2+t}=1-\frac{2t+1}{t^2+t}+\frac{2}{t}-\frac{1}{t+1}$$
Do đó:
$$\int \frac{t^2+1}{t^2+t}dt = t-ln|t^2+t|+ln t^2 - ln|1+t| + C $$
$$=t- ln\left |2+t+\frac{1}{t} \right |+C$$
Vậy:
$$\int \frac{1}{1+x+\sqrt{x^2+1}}dx =\frac{1}{2}\left [x-\sqrt{x^2+1}+ln\left ( 1+\sqrt{x^2+1} \right ) \right ]+C'$$
Ta có:
$$I = \frac{1}{2} {[1-\sqrt{2}+ln(1+\sqrt 2)] - [-1-\sqrt 2 +ln(1+\sqrt 2)]} = 1 $$
0 comments:
Đăng nhận xét