Tích phân $\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x+\sqrt{x^2+1}}dx$ (Viết cho Diệu Lan)

Bài toán: Tính tích phân:

$$I=\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x+\sqrt{x^2+1}}dx$$

Giải

Đặt $\sqrt{x^2+1}=x+t$ ta có:

$$1 = 2xt+t^2\Rightarrow x=\frac{1-t^2}{2t}\Rightarrow dx = -\frac{t^2+1}{2t^2}dt$$

Khi đó:

$$\int \frac{1}{1+x+\sqrt{x^2+1}}dx=-\int \frac{1}{1+\frac{1-t^2}{t}+t}.\frac{t^2+1}{2t^2}dt$$

$$=-\frac{1}{2}\int \frac{t^2+1}{t^2+t}dt$$

Mà:

$$\frac{t^2+1}{t^2+t}=1-\frac{2t+1}{t^2+t}+\frac{2}{t}-\frac{1}{t+1}$$

Do đó:

$$\int \frac{t^2+1}{t^2+t}dt = t-ln|t^2+t|+ln t^2 - ln|1+t| + C$$

$$=t- ln\left |2+t+\frac{1}{t}  \right |+C$$

Vậy:

$$\int \frac{1}{1+x+\sqrt{x^2+1}}dx =\frac{1}{2}\left [x-\sqrt{x^2+1}+ln\left ( 1+\sqrt{x^2+1} \right ) \right ]+C'$$

Ta có:

$$I = \frac{1}{2} {[1-\sqrt{2}+ln(1+\sqrt 2)] - [-1-\sqrt 2 +ln(1+\sqrt 2)]} = 1$$