Tích phân $\int_{1}^{e}\frac{ln^2x+lnx}{(lnx+x+1)^3}dx$

Bài toán: Tính tích phân 

$$I=\int_{1}^{e}\frac{ln^2x+lnx}{(lnx+x+1)^3}dx$$

Giải (Mrnhan của VMF)

Ta có:

$$\frac{ln^2x+lnx}{(lnx+x+1)^3}=\frac{lnx}{(1+lnx)^2\left ( 1+\frac{x}{1+lnx} \right )^3}$$

Do đó:

$$\int \frac{ln^2x+lnx}{(lnx+x+1)^3}dx=\int \frac{1}{\left ( 1+\frac{x}{1+lnx} \right )^3}d\left (1+ \frac{x}{1+lnx} \right )$$

$$=-\frac{1}{2\left ( 1+\frac{x}{1+lnx} \right )^2}+C$$

Vậy

$$I=\frac{1}{8}-\frac{2}{(2+e)^2}$$