Poland NMO 2013

Ngày 1

Câu 1. Giải phương trình nghiệm nguyên $x^4+y=x^3+y^2$. 

Câu 2. Cho hai số nguyên $a,b$ sao cho $a\neq 0$ và $3+a+b^2$ chia hết cho $6a$. Chứng minh rằng $a$ là một số âm. 

Câu 3. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. Các đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA$ lần lượt là đường kính của các đường tròn $O_1,O_2,O_3,O_4$. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn tiếp xúc với cả bốn đường tròn $O_1,O_2,O_3,O_4$.

Ngày 2

Câu 4. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD$ và $\widehat{BAD} + \widehat{BCD} = 180^o$. Chứng minh rằng $\widehat{BAD} > \widehat{ADC}.$ 

Câu 5. Cho $k,m,n$ là ba số dương phân biệt. Chứng minh rằng:  $$\left( {k - \frac{1}{k}} \right)\left( {m - \frac{1}{m}} \right)\left( {n - \frac{1}{n}} \right) \le kmn - (k + m + n).$$