Đề thi TSĐH môn toán khối D năm 2013

Mời bạn cùng tham gia giải tại đây

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số $y = 2x^3 – 3mx^2 + (m-1)x + 1\,\,\left( 1 \right),\,\,\,m$ là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$ khi $m=1$.
2. Tìm $m$ để đường thẳng $y=-x+1$ cắt đồ thị hàm số $(1)$  tại ba điểm phân biệt.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $\sin 3x + \cos 2x - \sin x =0$.

Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình $2\log_2x+\log_{\frac{1}{2}}(1-\sqrt{x})=\frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}(x – 2\sqrt{x}+2)$.

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 \frac{(x+1)^2}{x^2+1}dx$

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $\widehat{BAD}=120^o$, $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $\widehat{SMA}=45^o$. Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $xy \leq y - 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P = \frac{x+y}{\sqrt{x^2-xy+3y^2}}-\frac{x-2y}{6(x+y)}$$

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B).
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có điểm $M\left( -\frac{9}{2};\frac{3}{2} \right)$ là trung điểm cạnh $AB$, điểm $H(-2;4)$ và điểm $I(-1;1)$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B$ và tâm đường trong ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tìm tọa độ đỉnh $C$.

Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(-1;-1;-2), B(0;1;1)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y +z-1= 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A,B$ và vuông góc với $(P)$.

Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1+i)(z-i)+2z=2i$. Tìm môđun của số phức $w= \frac{\overline z – 2z + 1}{z^2}$.

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right): (x-1)^2+(y-1)^2 = 4$ và đường thẳng $\Delta :y-3=0$. Tam giác $MNP$ có trự tâm trùng với tâm của $\left( C \right)$, các đỉnh $N$ và $P$ thuộc $\Delta$, đỉnh $M$ và trung điểm cạnh $MN$ thuộc $\left( C \right)$. Tìm tọa độ điểm $P$.

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( -1; 3;-2 \right)$ và mặt phẳng $(P): x -2y -2z+5 = 0$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$

Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \frac{2x^2-3x+3}{x+1}$ trên đoạn $[0;2]$

---Hết---