Đề thi TSĐH môn toán khối B năm 2013

Mời bạn tham gia thảo luận tại đây

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số $y = 2x^3 – 3(m+1)x^2 + 6mx\,\,\left( 1 \right),\,\,\,m$ là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$ khi $m=-1$.
2. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho đường thẳng $AB$ vuông góc với đường thẳng $y=x+2$.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $\sin 5x + 2\cos^2x =1$.

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

$$\left\{ \begin{array}{l}  2x^2  + y^2  - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0 \\  4x^2  - y^2  + x + 4 = \sqrt {2x + y}  + \sqrt {x + 4y}  \end{array} \right.,(x,y \in \mathbb{R} )$$

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 x\sqrt{2-x^2}dx$

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P = \frac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2-4}}-\frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}$$

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B).
A. Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình thang cân $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau và $AD = 3BC$. Đường thẳng $BD$ có phương trình $x+2y-6=0$ và tam giác $ABD$ có trực tâm là $H(-3;2)$. Tìm tọa độ các đỉnh $C$ và $(D)$.

Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(3;5;0)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+3y-z-7= 0$.  Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng của $A$ qua $(P)$.

Câu 9.a (1,0 điểm).  Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ là $H\left( \frac{17}{5}; -\frac{1}{5} \right)$, chân đường phân giác trong của góc $A$ là $D(5;3)$ và trung điểm của cạnh $AB$ là $M(0;1)$. Tìm tọa độ đỉnh $C$.

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;-1;1), B(-1;2;3)$ và đường thẳng $\Delta: \frac{x+1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3}$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với hai đường thẳng $AB$ và $\Delta$.

Câu 9.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 +2y = 4x - 1 \\ 2\log_3(x-1) -\log_{\sqrt{3}}(y+1) = 0 \end{array} \right.$$

---Hết---