Đề thi TSĐH môn toán khối A, A1 năm 2014

Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}} \ \ \ (1)$

a. Khảo sát sự biến thiên hàm số và vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $(1)$.

b. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\left( C \right)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $y=-x$ bằng $\sqrt 2$.

Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình $\sin x + 4\cos x = 2 + \sin 2x$. 

Câu 3: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = {x^2} - x - 3$ và đường thẳng $y=2x+1$.

Câu 4: (1,0 điểm) 

a. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $z + \left( {2 + i} \right)\overline z  = 3 + 5i$. Tìm phần thực và phần ảo của $z$.

b. Từ một hộp chưa $16$ thẻ được đánh dấu từ $1$ đến $16$, chọn ngẫu nhiên $4$ thẻ. Tính xác suất để $4$ thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.

Câu 5: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Cho mặt phẳng $(P):2x+y-2z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{3}$. Tìm tọa độ giao điểm của $d$ và $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $(P)$.

Câu 6: (1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SD = \frac{{3a}}{2}$, hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm của cạnh $AB$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách từ $A$ đền mặt phẳng $(SBD)$.

Câu 7: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy$ cho hình vuông $ABCD$ có điểm $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là điểm thuộc đoạn $AC$ sao cho $AN=3NC$. Viết phương trình đường thẳng $CD$, biết rằng $M(1;2)$ và $N(2;-1)$.

Câu 8: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x\sqrt {12 - y} + \sqrt {y\left( {12 - {x^2}} \right)} = 12\\ {x^3} - 8x - 1 = 2\sqrt {y - 2} \end{matrix}\right.\left ( x,y \in R \right )$

Câu 9: (1,0 điểm) Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$$P = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + yz + x + 1}} + \frac{{y + z}}{{x + y + z + 1}} - \frac{{1 + yz}}{9}$$

$$\text{---Hết---}$$

Mời bạn tham gia giải tại đây